第八章 第八节 离散型随机变量的均值与方差-【成功方案】2024年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

第八节　离散型随机变量的均值与方差 知识点1　离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P P1 P2 … Pi … Pn 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(x)＋b. 若X服从两点分布，则E(X)＝p； 若X－B(n，p)，则E(X)＝np. 知识点2　离散型随机变量的方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi …pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1，2，…，n )相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差． 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且D(aX＋b)＝a2D(X). 若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p). 若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关．(　　) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(　　) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(　　) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事．(　　) 【解析】　均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 教材衍化 2．(2023·山东济宁·高二统考期中)若X的概率分布列为： X 0 1 P a 0.5 则E(X)等于(　　) A．0.8　 B．0.6　 C．0.5　 D．0.25 【解析】　由0.5＋a＝1，得a＝0.5，∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5.故选C. 【答案】　C 3．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________． 【解析】　∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c， ∴D(X)＝(c－c)2×1＝0. 【答案】　0 考题体验 4．(2023·武汉模拟)某射手射击所得环数ξ的分布列如下表： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【解析】　由题中表格可知x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，解得y＝0.4.故选C. 【答案】　C 5．(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【解析】　由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4. 由P(X＝4)<P(X＝6)，得Cp4(1－p)6<Cp6(1－p)4， 即(1－p)2<p2，所以p>0.5，所以p＝0.6. 【答案】　B 【例1】　为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ). 【思路点拨】　(1)分析两人所付费用相同时的情况。 (2)先写出随机变量ξ的可能取值，再列出ξ的分布列最后求数学期望E(ξ)，方差D(ξ). 【自主解答】　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元， 两人都付0元的概率为P1＝×＝， 两人都付40元的概率为P2＝×＝， 两人都付80元的概率为 P3＝×＝×＝， 故两人所付费用相同的概率为P