12.1 复数的概念（三大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

12．1 复数的概念 课程标准 学习目标 （1）通过方程的解体会引人复数的必要性，能类比自然数系扩充到实数系的过程，归纳出数系扩充的基本思想；能用自己的语言说明虚数单位i的意义，体会现实需求与数学内部的矛盾在促进数系扩充过程中所起的作用． （2）能说明复数代数表示的基本结构并能运用Venn图对复数进行分类；能说出复数相等的含义，并会用于解决简单的实际问题． （3）能类比实数的几何意义，用自己的语言解释复数的几何意义，从数与形两个角度，理解复数相等的条件． （1）通过方程的解，认识复数. （2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 知䢔点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 【即学即练1】（2024·高一·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【即学即练2】（2024·高一·全国·课时练习）方程的实数解 . 题型一：复数的概念 【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）设集合{复数}，{实数}，{纯虚数}，若全集，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数 C．可能是实数 D．复数的虚部是 【变式1-1】（2024·高一·全国·课时练习）复数i的虚部为（　　） A．2 B． C． D．0 【变式1-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知z1，z2为复数．若命题p：z1·z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2024·高二·上海徐汇·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．任意两个复数都能比较大小 B．任意两个复数都不能比较大小 C．设，如果，那么 D．设，如果，那么 【方法技巧与总结】 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 题型二：复数的分类 【典例2-1】（22·23高一·全国·课堂例题）实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【典例2-2】（21·22高一·全国·课时练习）符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为的虚数； (2)虚部为的虚数； (3)虚部为的纯虚数； (4)实部为的纯虚数． 【变式2-1】（2024·高一·安徽池州·阶段练习）已知复数. (1)若复数是虚数，求实数的值； (2)若复数是纯虚数，求实数的值. 【变式2-2】（2024·高一·上海·课时练习）若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？ 【变式2-3】（2024·高二·吉林辽源·期末）已知复数. （1）取什么值时，为实数； （2）取什么值时，为纯虚数. 【变式2-4】（2024·高二·河南周口·期中）已知，复数，当m为何值时， （1）z为实数？ （2）z为虚数？ （3）z为纯虚数？ （4）z在复平面内对应的点在第四象限？ 【变式2-5】（2024·高二·上海浦东新·期末）已知复数（是虚数单位） （1）复数是实数，求实数的值； （2）复数是虚数，求实数的取值范围； （3）复数是纯虚数，求实数的值. 【方法技巧与总结】 解决复数分类问