精品解析：上海市进才中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

上海市进才中学2025届高二第二学期单元检测 （时间120分钟，满分150分） 高二数学试卷 （2024年3月） 命题教师 葛鸣 审题教师 袁洁 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1 空间中三条平行直线最多确定_____________个平面. 2. 二项式的展开式中常数项为________(结果用数值表示) 3. 已知，则_____________. 4. 若双曲线渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_____________. 5. 有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为_____________. 6. 一个圆锥表面积为，母线长为，则其底面半径为______. 7. 已知直线与平行，则________． 8. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有__________种. 9. 在正四棱柱中，对角线且与底面所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 10. 从集合中取出三个元素构成集合，则中元素满足的概率为_________________.（用数字作答） 11. 我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线.设共轭双曲线，的离心率分别为，，则的最大值是_________. 12. 定义域为集合上的函数满足：①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同函数的个数为________ 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 14. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 15. 在某段时间内，甲地不下雨的概率为（），乙地不下雨的概率为（），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为 A. B. C. D. 16. 如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知. （1）若，求中含项的系数； （2）若，求的值； 18. 如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点； （1）若∥平面，求； （2）平面将三棱柱分成两个部分，求含有点的那部分体积； 19. （1）从等轴双曲线上任一点分别作两渐近线的平行线，得矩形（如图），求证：矩形的面积为定值. （2）请将上述命题推广到更一般的情形，写出相应的结论. 20. 已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）. （1）当面积最大时，求椭圆方程； （2）当时，若是线段的中点，求直线的方程； （3）当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点坐标，若不存在，说明理由. 21. 规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． （1）求的值． （2）组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （3）已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市进才中学2025届高二第二学期单元检测 （时间120分钟，满分150分） 高二数学试卷 （2024年3月） 命题教师 葛鸣 审题教师 袁洁 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 空间中三条平行直线最多确定_____________个平面. 【答案】3 【解析】 【分析】结合公理2的推论3分析判断. 【详解】三条平行直线在一个平面内时，确定一个平面， 当三条平行直线不在同一个平面时，两两能确定一个平面，共能确定三个平面. 所以空间中三条平行直线最多确定三个平面. 故答案为：3. 2. 二项式的展开式中常数项为________