8.1.3向量数量积的坐标运算（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

8.1.3 向量数量积的坐标运算 ． 我们已经学习过平面向量的坐标定义：在平面直角坐标系中，分别给定与 轴、 轴正方向相同的单位向量 ，，则对平面内的向量 ，有 = +，其中(，)就是向量 的坐标，记作 = (，)；且{，}是一组单位正交基底. 我们还学习了向量加减、数乘的坐标运算，那么向量的数量积怎么用坐标表示呢？ y O x e1 e2 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（重点） 2.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（重点、难点） 探究点1：向量的坐标与向量的数量积 思考1：设 ,,能否用,的坐标表示出 · ？ 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{，}， 使得 = + ， = + ， 因此 · = ( + )·( + ) = 2 + · + · + 2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. =· 思考2：若，该如何计算向量的模 || 呢？ 由 可知，，即 . 拓展：平面直角坐标系中两点之间的距离公式 在平面直角坐标系中，如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 =(x2 – x1，y2 – y1)， 从而 ·= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2，因此 ||= . 思考3：设 ， 都是非零向量， 如何用坐标表示向量 ， 的夹角 ？ 由上可知，，，， 又，所以 例 1.= (3，–1)， = (1，–2)，求 ·，||，||，<，>. 解：· = (3，–1) · (1，–2) = 3×1 + (–1)×(–2) = 5， || = = = ， || = = = ， 又因为 = = ，所以 <，> = . 例 2.已知点 A (1，2)，B (3，4)，C (­5，0)，求∠BAC 的余弦值. 解：因为 = (3 – 1，4 – 2) = (2，2)， = (5 – 1，0 – 2) = (4，– 2)， 所以 · = 2×4 + 2×(– 2) = 4，|| = = ， || = = ， 因此 cos∠BAC = = = . 思考1：设 ，，能否用 的坐标表示出 ⊥ 呢？ 探究点2：用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 因为⊥ 所以 ⊥ ⊥ ⇔ x1x2 + y1y2 = 0 注意：与向量共线的坐标表示分辨清楚. 例 3.已知点 A (1，2)，B (2，3)，C (–2，5)，求证： ⊥ . 证明：因为 = (2，3) – (1，2) = (1，1)， = (– 2，5) – (1，2) = (– 3，3)， 所以 · = (1，1)・(–3，3) = 1×(– 3) + 1×3 = 0； 因此 ⊥ . A．3　　 　　 B．1　　 　　C．－1　　 　D．－3 1.已知平面向量 ，，且 ⊥ ，则等于（ ） 跟踪训练： B 2.已知平面向量 ，，当为何值时， 与 垂直. 例 4.如图所示，已知点 A (2，1)，将向 绕原点 O 逆时针旋转 得到 ，求点 B 的坐标. B y O x A 证明：由已知可得 || = ||，· = 0； 又因为 = (2，1)，设 B (x，y)，则 = (x，y)， 从而有 ，解得 或 ； 由图可知，点 B 在第二象限，所以 B (-1，2). 例 5.如图所示，已知正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 不在端点上的任意一点，PE⊥AB，PF⊥BC，连接 DP，EF. 求证：DP⊥EF . y O x A B C D P F E 证明：如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴， 正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)， 从而 = (1，0)、 = (0，1)； 由已知，可设 P (，)，其中 0 < < 1，则 E (，0)，F (1，)， 因此 = (， – 1)、 = (1 – ，)； 又因为 · = (1 – ) + ( – 1) = 0，所以 ⊥，因此 DP⊥EF . 平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示 平面向量垂直、夹角的坐标表示 平面向量模的坐标表示 $$