大题强化及变式训练（7）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届大题强化训练及变式训练（7） 1．在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若的平分线交于，且，求的最小值. 变式：在△ABC中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且__________，求△ABC的面积． （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. 2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，为线段上一点，且． （1）证明：平面； （2）若平面，且，求二面角的正弦值． 变式：如图，四棱锥中，底面是边长为2菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点. （1）若，求证：平面； （2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值. 3．为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图①为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图②为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占． （1）根据图①、图②中的数据，画出列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？ （2）用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行分层随机抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 变式：人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示： ChatGPT应 用的广泛性 服务业就业人数的 合计 减少 增加 广泛应用 60 10 70 没广泛应用 40 20 60 合计 100 30 130 （1）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？ （2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 4．己知椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在与点不同定点，使得恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 变式：已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点相同，点的坐标分别为是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：当点在抛物线上变动时（只要点存在，且点与点不重合），直线恒过定点，并求出定点坐标． 5．小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. （1）若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； （2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求； （3）记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：. 变式： “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复． （1）若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2）记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望； （3）求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确