第07讲三角恒等变换与解三角形（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第07讲三角恒等变换与解三角形（3大考点+强化训练） [考情分析]　 1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题. 2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度． 知识导图 考点分类讲解 考点一：三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ； (2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sinαcosα； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 规律方法　三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 考点二：正弦定理、余弦定理及综合应用 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝ ，sin B＝，sin C＝ ， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 考向1：正弦定理、余弦定理 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．在ABC中，．则A的取值范围是（ ） A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，） 3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（ ） A． B． C．2 D．3 4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（ ） A． B． C． D． 5．在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若面积为，则周长的最小值为12 C．当，时， D．若，，则面积为 三、填空题 8．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 四、解答题 9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 考向2:解三角形中的最值与范围问题 规律方法　解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略 (1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围． (2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围． 一、解答题 1．（2023·河南开封·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 2．已知函数. (1)求函数的单调递减区间； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围. 3．已知中，角所对的边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，求面积的最大值以及周长的最大值. 4．（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的值； (2)若，求的周长的取值范围． 考点三:解三角形的实际应用 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 规律方法　解三角形实际问题的步骤 ①需要测量的数据有：点到，点的俯角； 点到，的俯角；，的距离 ………. ②第一步：计算. 由正弦定理　； 第二步：计算. 由正弦定理