8.1.2向量数量积的运算律（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

8.1.2 向量数量积的运算律 我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律.那么向量数量积的运算满足哪些运算律呢？这节课我们就一起来学习一下吧！ 1.掌握平面向量数量积的运算律.（重点） 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积的运算律解决有关问题.（重点、难点） 探究点：平面向量数量积的运算律 思考1：我们知道实数乘法满足交换律，那么向量的数量积满足交换律吗？ 当 ， 是两个非零向量时，因为<，> = <，>，所以根据 · = || || cos <，>， · = || || cos <，> 可知： 即向量数量积满足交换律！ 解析: · = · 思考2：我们知道实数乘法满足结合律，那么向量的数量积满足结合律吗？ m n 但 与 不一定是共线的， 故三个向量的数量积不满足结合律！ 思考3：三个向量不满足结合律，那么两个向量和一个实数相乘是否满足结合律呢？ (λ)· = λ(·) （1）当，中至少有一个是零向量或λ = 0时： (λ)· = λ(·) ； （2）若 λ > 0：则|λ| = λ||，且 λ 的方向与 的方向相同，从而 <，> = <，>， 因此 (λ)· = |λ|·|| cos <，> = λ||·|| cos <，> = λ(·)； （3）若 λ < 0：则|λ| = – λ||，且 λ 的方向与 的方向相反，从而 <，> = π – <，>， 因此 (λ)· = |λ|·|| cos <，> = – λ||·|| cos(π – <，>) = λ(·). 综上所述，两个向量和一个实数相乘满足结合律. (λ· =λ 同理可得 · =λ 思考4：当，，都是向量时，，，都是实数吗？如果是，这3个实数之间有什么关系？ （1）当 ，， 中至少有一个是零向量时： 成立； （2）当 ，， 均不为零向量时： 此时，|| ≠ 0，设 = ，即 是与 同向的单位向量； 如图所示，设点O与都在直线 l 上，且 = ， = ， 则 = + = + . b a A B O A´ a + b B´ c0 l 过 A，B 分别作直线 l 的垂线AA'，BB'， 由向量投影的定义可知， 在 上的投影为， 在 上的投影为， + 在 上的投影为； ( + )· = · + · 同理可得 · ( + ) = · + · ( – )· = · – · 又因为 = + ， 所以根据向量数量积的几何意义可知 ( + )· = · + ·， 式子两边同时乘以 ||，即可知 ( + )· = · + ·， 综上所述，向量数量积对加法满足分配律 注意：数量积运算不满足结合律. 已知向量 和实数 ，则向量的数量积满足： （1） （交换律） （2） （数乘结合律） （3） （分配律） 【总结】 例 1.求证： （1）； （2）. 解：（1）( = ； （2） = () () = = . 向量的数量积运算满足平方差公式和完全平方公式 同理可得 例 2.（1）已知 || = 2，|| = 1，<，> = 60°，求 |+ 2|； （2）已知 |+ | = |– |，求 . 解：（1）由题意可知 = 4， = 1，· = 2×1×cos 60°= 1， 所以 == + 4· + 4 = 4 + 4×1 + 4×1 = 12， 因此 |+ 2| = = 2； （2）由题意可知 =，即 = ， 因此 + 2 + = – 2 + ，即 = 0. 跟踪训练： 1.已知 ||=6，||=4，<，> = 60°，则 等于 . 2.若，，满足且，则（ ） A.4 B.3 C.2 D.0 D -72 例 3.利用向量证明菱形的两条对角线互相垂直. 如图所示，已知 ABCD 是菱形，AC 与 BD 是两条对角线. 求证：AC⊥BD. A B C D 证明：由已知可得 = + ， = – ， 所以 · = ( + )·( – ) = – 又因为ABCD是菱