专题课堂(8) 解直角三角形中的数学思想-【黄冈100分闯关】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版2012)

数学 九年级下册 人教版 第二十八章　锐角三角函数 专题课堂(八)　解直角三角形中的数学思想 100分闯关 一、方程思想 【例1】(邵阳中考)某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．(结果精确到1 cm；温馨提示：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14) 解：设OE＝OB＝2x，∴OD＝DE＋OE＝190＋2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝ eq \f(1,2) OD＝95＋x，∴BC＝OC－OB＝95＋x－2x＝95－x，∵tan ∠BAD＝ eq \f(BC,AC) ，∴2.14≈ eq \f(95－x,40) ，解得x＝9.4，∴OB＝2x≈19 cm [对应训练] 1．(宿迁中考)如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2 km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离． 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝∠ACD＝45°，∴AD＝CD，设AD＝x，则AC＝ eq \r(2) x，∴BD＝AB－AD＝2－x，∵∠CBD＝60°，在Rt△BCD中，∵tan ∠CBD＝ eq \f(CD,BD) ，∴ eq \f(x,2－x) ＝ eq \r(3) ，解得x＝3－ eq \r(3) .经检验，x＝3－ eq \r(3) 是原方程的根．∴AC＝ eq \r(2) x＝ eq \r(2) (3－ eq \r(3) )＝(3 eq \r(2) － eq \r(6) )km.答：船C离观测站A的距离为(3 eq \r(2) － eq \r(6) )km 2．(2021·威海)在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27°.若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18，sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51) 解：过点A作AF⊥MN于点F，交PQ于点E，设CE＝x，在Rt△CPE中，PE＝x·tan 27°≈0.51x，∵BD＝10米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，∴AE＝(x＋10)米，AF＝2(x＋10)米，在Rt△AMF中，MF＝2(x＋10)·tan 10°≈0.36(x＋10)米，∵MF＝PE，∴0.51x＝0.36(x＋10)，解得：x＝24，∴PE≈0.51×24＝12.24(米)，∴PQ＝PE＋EQ＝PE＋AB＝12.24＋1.2≈13.4(米)，答：路灯的高度约为13.4米 二、转化思想 【例2】(常德中考)如图①是自动卸货汽车卸货时的状态图，图②是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．(结果保留一位小数，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14，sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75， eq \r(2) ≈1.41) 解：方法一：如图①，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ACF中，∵sin ∠CAB＝sin (60°＋5°)＝sin 65°＝ eq \f(CF,AC) ，∴CF＝AC·sin 65°≈2×0.91＝1.82，在Rt△BCF中，∵∠ABC＝45°，∴CF＝BF，∴BC＝ eq \r(2) CF≈1.41×1.82≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米　方法二：如图②，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ACE中，∵∠C＝180°－65°－45°＝70°，∴cos C＝cos 70°＝ eq \f(CE,AC) ，即CE＝AC×cos 70°≈2×0.34＝0.68，sin C＝sin 70°＝ eq \f(AE,AC) ，即AE＝AC×sin 70°≈2×0.94＝1.88，又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，∴AE＝BE，∴BC＝BE＋CE＝0.68＋1.88≈2.6，答：所求BC的长度约为2.6米 3．(2021·山西)某公园为