专题(6) 二次函数与几何图形的简单综合-【黄冈100分闯关】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(华东师大版2012)

数学 九年级下册 华师版 100分闯关 专题(六)　二次函数与几何图形的简单综合 类型一：与线段长、角度有关的二次函数问题 1．(2022·常德)如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2. (1)求此抛物线的表达式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， 当△OAB的面积为15时，求点B的坐标； 在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值 最大时，求P的坐标以及PA－PB的最大值． 解：(1) ∵抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)，设抛物线表达式为y＝ax(x－4)，把A(5，5)代入，得5a＝5，解得a＝1，∴y＝x(x－4)＝x2－4x，故此抛物线的表达式为y＝x2－4x　(2)∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B(2，m)(m＞0)，设直线OA的表达式为y＝kx，则5k＝5，解得k＝1，∴直线OA的表达式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H(2，2)，∴BH＝m－2，∵S△OAB＝15，∴ eq \f(1,2) (m－2)×5＝15，解得m＝8，∴点B的坐标为(2，8)　 (3)设直线AB的表达式为y＝cx＋d，把A(5，5)，B(2，8)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5c＋d＝5，,2c＋d＝8，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－1，,d＝10，)) ∴直线AB的表达式为y＝－x＋10，当PA－PB的值最大时，点A，B，P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋10，,y＝x2－4x，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－2，,y1＝12，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝5，,y2＝5)) (舍去)，∴P(－2，12)，此时，PA－PB＝AB＝ eq \r(（5－2）2＋（5－8）2) ＝3 eq \r(2) 类型二：与面积有关的二次函数问题 2．(2022·泰州)如图，二次函数y1＝x2＋mx＋1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象相交于点B(3，1). (1)求这两个函数的表达式； (2)当y1随x的增大而增大且y1＜y2时，直接写出x的取值范围； (3)平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C，D(点C在点D的左边)，与函数y2的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标． 解：(1)∵二次函数y1＝x2＋mx＋1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象相交于点B(3，1)，∴32＋3m＋1＝1， eq \f(k,3) ＝1，解得m＝－3，k＝3，∴二次函数的表达式为y1＝x2－3x＋1，反比例函数的表达式为y2＝ eq \f(3,x) (x＞0)　(2)∵二次函数的表达式为y1＝x2－3x＋1，∴对称轴为直线x＝ eq \f(3,2) ，由图象知，当y1随x的增大而增大且y1＜y2时， eq \f(3,2) ≤x＜3　 (3)由题意作图如图．∵当x＝0时，y1＝1，∴A(0，1) ，∵B(3，1)，∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE＝DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当x＝ eq \f(3,2) 时，y2＝2，∴E( eq \f(3,2) ，2) 类型三：与特殊三角形有关的二次函数问题 3．(2022·百色)已知抛物线经过A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连结OM，交BC于点F. (1)求抛物线的表达式； (2)求证：∠BOF＝∠BDF； (3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？ 若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． 解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝a－b＋c，,3＝c，,0＝9a＋3b＋c，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，,c＝3，)) ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3　(2)∵四边形OBDC是正方形，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF　 (3)∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝－x2＋2x＋3，解得x1＝0，x2＝