第26章 二次函数（含12种题型）（知识清单）数学华东师大版九年级下册

第26章 二次函数 1. 二次函数的定义：一般地，形如__________(a__________0，其中a，b，c是__________)的函数叫做二次函数. 其中，__________是自变量，a，b，c分别是函数解析式的__________、__________和__________. 2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一条关于__________对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该__________叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的__________叫做抛物线的顶点. 3. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而__________； x＜0时，y随x的增大而__________. x＞0时，y随x的增大而__________； x＜0时，y随x的增大而__________. 最值 当x__________0时，函数图像有最__________点，有最__________值__________. 当x__________0时，函数图像有最__________点，有最__________值__________ 4. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 k的符号 k__________0 k__________0 k__________0 k__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而__________； 当x＞0时，y随x的增大而__________. 当x＜0时，y随x的增大而__________； 当x＞0时，y随x的增大而__________. 最值 当x__________0时，y有最__________值__________ 当x__________0时，y有最__________值__________. 5. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 h的符号 h__________0 h__________0 h__________0 h__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ 顶点坐标 __________ 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 最值 当x＝h时，y有最__________值__________ 当x＝h时，y有最__________值__________ 6. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ __________ 顶点坐标 __________ __________ 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 当x＜h时，y随x的增大而__________； 当x＞h时，y随x的增大而__________. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 7. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a__________0 a__________0 图像 开口方向 __________ __________ 对称轴 __________ __________ 顶点坐标 __________ __________ 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而__________； x＜时，y随x的增大而__________. x＞时，y随x的增大而__________； x＜时，y随x的增大而__________. 最值 抛物线有最__________点，当x=时，y有最__________值， 抛物线有最__________点，当x=时，y有最__________值， 8. 二次函数与x轴的交点个数 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 __________ __________ △＝0 __________ __________ △＜0 __________ __________ 9. 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 序号 易错点 易错题 注意事项 1 忽略二次项系数不能为0的隐含条件 1-2 当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数. 2 记错二次函数的顶点坐标 3-4 3 二次函数各项系数之间的关系 5-6 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 4 二次函数平移问题 7-8 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. 5 二次函数的最值问题 9-10 二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数是二次函数，则的值是 ． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线向左平移2个单位，向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是 ． 4．（2024九年级下·广东潮州·学业考试）已知函数是二次函数，则的取值范围为 ，顶点坐标为 ． 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2022·广东湛江·一模）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025·云南临沧·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 8．（24-25九年级上·浙江·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 重难点01 二次函数的定义 ·1．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 3．（24-25九年级上·广西·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 4．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 重难点02 二次函数的图像与性质 5．（2024·广东广州·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 6．（18-19九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A．B．C． D． 7．（23-24九年级上·山东日照·期末）已知m、n是关于x的一元二次方程的两实数根，则代数式的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是 （   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 9．（23-24九年级下·吉林长春·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为 ． 11．（2024·新疆·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； (2)是抛物线上的点， ①当时，求的取值范围； ②若无论m为何值，都有满足的点P，求t的取值范围． 重难点03 待定系数法求二次函数解析式 12．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 13．（24-25九年级上·河北·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 14．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 ． 重难点04 函数图像综合 15．（2024·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 17．（21-22九年级上·湖南株洲·期中）函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．  B．  C．  D．   重难点05 二次函数图像与各项系数之间的关系 18．（2024·湖北·三模）抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有 ．（填写序号） 21．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线是抛物线的顶点，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤若，则． 重难点06 二次函数平移问题 22．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将抛物线绕顶点旋转后，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ． 23．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为 24．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 25．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 重难点07 二次函数最值问题 26．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 27．（24-25九年级上·山东威海·期中）已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ． 28．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是 ． 重难点08 二次函数与坐标轴交点问题 29．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 30．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）若抛物线与直线只有一个公共点，则的值为 ． 31．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 32．（23-24九年级上·浙江金华·期末）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．    重难点09 二次函数与不等式 33．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 34．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 35．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于原点和点． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 重难点10 二次函数与实际应用 36．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 37．（2024·陕西·模拟预测）在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 38．（2024·湖北襄阳·模拟预测）年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米． 39．（2024·湖北·模拟预测）某网店销售一款市场上畅销的健身器材壶铃，进价为每个20元，在销售过程中发现，这款壶铃销售单价为30元时，每天卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每天少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价是多少元时，该网店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 重难点11 二次函数定值问题 40．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线为常数，且与轴交于点（点在点左侧），顶点是． (1)若点的坐标为． 求抛物线的函数表达式； 如图，点在抛物线上，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (2)如图，若直线与该抛物线交于点，试探究线段的长是否为定值，若是，求出的长度；若不是，请说明理由． 41．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．    (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 42．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 43．（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 重难点12 二次函数整点问题 44．（2024九年级下·云南·学业考试）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 45．（2024·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，抛物线．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”． (1)当时， ①求该抛物线的顶点坐标； ②求该抛物线与轴围成的图形边界上的整点数 (2)若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出的取值范围． 46．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的图象经过点，交抛物线位于第四象限的图象于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一个动点，若点与点之间部分（含点与点）图象最高点和最低点纵坐标之差等于时，求点的坐标； (3)连接，若内部（不含边）有个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 1. 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 3. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大； x＜0时，y随x的增大而减小. x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大. 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0. 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0. 4. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 （0，k） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝0时，y有最小值k 当x＝0时，y有最大值k. 5. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 h的符号 h＞0 h＜0 h＞0 h＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h 顶点坐标 （h，0） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值0 当x＝h时，y有最大值0 6. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x=h x=h 顶点坐标 （h，k） （h，k） 函数的增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小. 最值 当x＝h时，y有最小值k 当x＝h时，y有最大值k 7. 二次函数的图像及性质 函数 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 x= x= 顶点坐标 (，) (，) 函数的增减性 x＞时，y随x的增大而增大； x＜时，y随x的增大而减小. x＞时，y随x的增大而减小； x＜时，y随x的增大而增大. 最值 抛物线有最低点，当x=时，y有最小值， 抛物线有最高点，当x=时，y有最大值， 8. 二次函数与x轴的交点个数 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 9. 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 序号 易错点 易错题 注意事项 1 忽略二次项系数不能为0的隐含条件 1-2 当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数. 2 记错二次函数的顶点坐标 3-4 3 二次函数各项系数之间的关系 5-6 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 4 二次函数平移问题 7-8 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位. 5 二次函数的最值问题 9-10 二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围. 1．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数称为二次函数”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为4． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一次函数，熟知二次函数与x轴只有一个交点，则，根据二次函数的图像与x轴只有一个交点可得，求解即可，同时需要分类讨论． 【详解】解：当函数为二次函数时，则， 解得：， ∵二次函数的图像与x轴只有一个交点， ∴， ， 解得：，， ， 当函数为一次函数时，则且 解得：且， ， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线向左平移2个单位，向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移， 将抛物线的关系式化成顶点式，再得出平移后的关系式，即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 得到的关系式为， ∴新抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 4．（2024九年级下·广东潮州·学业考试）已知函数是二次函数，则的取值范围为 ，顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，得到；根据二次函数的解析式即可得到顶点坐标． 【详解】解：函数是二次函数， ， ， 的顶点坐标为， 故答案为：， ． 5．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定、、的符号，从而判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的正半轴相交， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ∴，，，，故B、C、D错误，不符合题意；A正确，符合题意； 故选：A． 6．（2022·广东湛江·一模）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①由抛物线开口向下得，；对称轴在轴的右侧得，符号相异，；与轴交于正半轴得，；∴，该选项错误，不符合题意； ②通过图象可知当时，，整理得，该选项错误，不符合题意； ③通过图象可知当时，，该选项正确，符合题意； ④抛物线与横轴有两个交点，∴，该选项正确，符合题意； 正确结论为：③④， 故选：B． 7．（2025·云南临沧·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可. 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线. 故选：A. 8．（24-25九年级上·浙江·期末）已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故点P向下平移2个单位得到Q，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线：向下平移2个单位后得到抛物线：， ∴点平移后的对应点Q的坐标是， 故选：C． 9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 直接利用配方法求出二次函数最小值，进而利用二次函数增减性得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， 整理得：， 故当时，有最小值为； ∵， ∴当时，有最大值为； 故； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，当时，有最大值4， 当时，，当时，， ， 的取值范围为， 故答案为：． 重难点01 二次函数的定义 ·1．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 3．（24-25九年级上·广西·期中）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 4．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 重难点02 二次函数的图像与性质 5．（2024·广东广州·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 6．（18-19九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 7．（23-24九年级上·山东日照·期末）已知m、n是关于x的一元二次方程的两实数根，则代数式的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据二次根式的性质以及关于x的一元二次方程有两个实数根，可列出关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系可得；进而求得y关于k的函数解析式，然后根据二次函数的图象与性质解得y的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根， 且， ∴， ∵m、n是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， ∴ ， ∴对称轴为直线，且该函数的开口向上， ∵，且， ∴当时，y取得最小值，最小值为， 当时，y取得最大值，最大值为16， ∴代数式的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、二次根式的性质、解不等式组、一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的图像与性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 8．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是 （   ） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答C，最后根据对称性说明D即可. 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下，当时，y随着x的增大而减小，当时，与时的函数值相等，即. 故选：D. 9．（23-24九年级下·吉林长春·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而增大，可得．根据题意有，问题随之得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握关于原点对称的抛物线开口方向改变，开口大小不变，是解题的关键．根据关于原点对称的抛物线开口方向改变，大小不变，顶点坐标关于原点对称求出关于原点对称的解析式即可求解． 【详解】解：抛物线与抛物线关于原点对称，则顶点的横纵坐标互为相反数， ∵抛物线关于原点对称的抛物线解析式为， 又，， ， 故答案为：． 11．（2024·新疆·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； (2)是抛物线上的点， ①当时，求的取值范围； ②若无论m为何值，都有满足的点P，求t的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键， （1）将抛物线解析式化为顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标； （2）根据题意，无论m为何值，都有满足的点P，即令，求出抛物线与直线的交点，再由两个交点都在内，从而得到，解不等组即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴抛物线的顶点坐标为， （2）解：①当，时，， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为 ∴当时，；当时，， ∴． ②令， 则， ∴， ∴，， 即抛物线与直线的交点为， ∵， ∴， 解得： ， ∴． 重难点03 待定系数法求二次函数解析式 12．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤． 通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值． 【详解】解：将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·河北·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法法求函数解析式，抛物线的形状与抛物线相同，．抛物线与轴的交点为，，利用交点式求表达式即可． 【详解】解：∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∵抛物线与x轴的交点为，， ∴其解析式， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式， 根据二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把代入解析式即可得出a的值，进而可得出函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 故答案为：． 重难点04 函数图像综合 15．（2024·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，由二次函数的图象确定的符号，进而得出一次函数图象的分布位置即可求解，掌握一次函数与二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵抛物线开口向上， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与轴的交点为，故选项图象符合题意； 、∵抛物线开口向上， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 、∵抛物线开口向下， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 、∵抛物线开口向下， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 故选：． 16．（23-24九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数得性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 17．（21-22九年级上·湖南株洲·期中）函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：由A，D中的二次函数图象可得，因为，故A，D错误； 由B，C中的二次函数图象可得，所以的图象在二，四象限内，故C错误，B正确． 故选：B． 重难点05 二次函数图像与各项系数之间的关系 18．（2024·湖北·三模）抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可得，再由对称轴为，可得，故①错误；根据，可得，再由与y轴的交点在，之间（不包含端点），可得，故②正确；根据二次函数图象的增减性可得，故③正确；根据题意可得直线经过和两点，当时，二次函数的值，从而得到直线上与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 【详解】解：抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为，且点M离对称轴的距离比点N离对称轴的距离小，且， ∴，故③正确； 对于抛物线，由对称性得：当时，， 对于， 当时，，当时，， ∴直线经过和两点， ∵， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∵， ∴， 即当时，二次函数的值， ∴直线与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 故选C． 19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案． 【详解】解：二次函数图象的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故结论正确，符合题意； 对于，当时，， 点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意； 综上所述：结论正确， 故选：． 20．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有 ．（填写序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据函数图象分别判断a,b,c的符号即可判断结论①；利用图象与x轴交点的个数即可判断结论②；利用对称轴及当时函数值的正负即可判断结论③；利用和时的函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴a，b同号，即， ∵函数图象与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴是直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，即，故③错误； ∵当时，，当时，， ∴，即，故④正确； 故答案为：②④． 21．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为直线是抛物线的顶点，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③当时，随的增大而减小；④；⑤若，则． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 依据题意，根据抛物线的位置判断即可判断①；利用对称轴公式可判断②；依据题意，可得当时，随的增大而减小，即可判断③；依据题意，图象与轴交于点，从而，即可判断④；依据题意，设抛物线的解析式为，过点作轴于点，对称轴交轴于点，利用相似三角形的性质，即可判断⑤． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∵抛物线交轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②错误； ③观察图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； ④∵图象与轴交于点， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵图象与轴交于点， ∴另一个交点为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，， 过点作轴于点，对称轴交轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴； 综上，正确的选项有①③⑤． 故答案为：①③⑤ 重难点06 二次函数平移问题 22．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将抛物线绕顶点旋转后，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的旋转与平移；先求出旋转后的函数式，此时函数图像的开口向上，顶点不变；再求出平移后的函数式即可． 【详解】解：抛物线绕顶点旋转后，解析式为，再向上平移3个单位长度后为； 故答案为：． 23．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，作轴于H，设，求出，把代入，得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于H， 设， 令，则，解得：，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∵， ∴． 故答案为：． 24．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点，和点，分别在和的图像上．若点，的横坐标均为，点，的横坐标均为4，则线段，与两条抛物线围成的阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，分别连接、，从而若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4，进而可得轴，又上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线，从而，可得四边形为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形的面积，进而得解． 【详解】解：如图，分别连接、． ∵若点A，C的横坐标均为，点B，D的横坐标均为4， ∴轴． 又∵上面的抛物线为向下平移可得4个单位可得下面的抛物线， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形的面积． 故答案为：24． 25．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，两抛物线交于点，在抛物线上取一点，点在点左侧，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，若为等边三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的性质，等边三角形性质，用含，的代数式表示出，的坐标，再根据两点间距离公式列方程即可解得的值． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴ 联立 解得： ∴， ∵轴，是等边三角形， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得： 又∵ ∴ 故答案为：． 重难点07 二次函数最值问题 26．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：0或3． 27．（24-25九年级上·山东威海·期中）已知抛物线，为实数，当时，的最大值为4，此时的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； 【详解】解：∵， ∴对称轴为，函数图象开口向上， ， ， ∴当时，取最大值4， ， 解得：， 故答案为：或． 28．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线，当时，函数的最大值是6，最小值是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先将解析式配方成顶点式，根据二次函数的增减性和最值问题解答． 【详解】解：，抛物线顶点坐标，开口向上，对称轴为直线， ∵时，函数y的最大值是6，最小值是2， 当函数值为2时，， 解得， 当函数值为6时，， 解得：或． ∴． 故答案为：． 重难点08 二次函数与坐标轴交点问题 29．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 30．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）若抛物线与直线只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．当抛物线与直线只有一个公共点，联立方程，根据，解出，即可． 【详解】解：抛物线与直线只有一个公共点， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 31．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 32．（23-24九年级上·浙江金华·期末）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．由与平行，可得当时，直线与原图象只有一个交点，联立，即得，再由只有一个交点求解即可． 【详解】解：与平行， 当时，直线与原图象只有一个交点， 联立， ， 即，， 只有一个交点， ， ， 的取值范围为：或 故答案为：或 重难点09 二次函数与不等式 33．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值较大． 找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可． 【详解】解：由图象交点可得，当时，， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即， ∴或， 故答案为：或． 35．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于原点和点． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 【答案】(1) ，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）把代入可得，即；再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质确定顶点坐标即可； （2）直接根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入，即，解得：， 把，代入， 得，解得： ， ∴ ， ∴顶点坐标为． （2）解：当时，一次函数的图象在二次函数的图象的上方，即图象所对x的取值范围为；即的解集为． 重难点10 二次函数与实际应用 36．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 37．（2024·陕西·模拟预测）在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 【答案】(1)，不能射进球门 (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，利用待定系数法可得，再把代入求出的值即可判断求解； （）小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为，把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意，列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得 ， ， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门． 38．（2024·湖北襄阳·模拟预测）年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米． 【答案】此时两条水柱相遇点距地面米 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，根据题意，确定图象是关于y轴对称的二次函数图象，开口向下，顶点坐标为，根据这些条件设出解析式，代入A或B点坐标及可求出解析式；B后退至，抛物线向右平移10米，或者A退至，抛物线向左平移10米，；用这两个解析式当中的哪一个都可以，当x=0时求y值即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得，解得， ， 两辆消防车同时后退米， 抛物线向右平移后的解析式为， 当时，则， 答：此时两条水柱相遇点距地面米． 39．（2024·湖北·模拟预测）某网店销售一款市场上畅销的健身器材壶铃，进价为每个20元，在销售过程中发现，这款壶铃销售单价为30元时，每天卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每天少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价是多少元时，该网店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价是50元时，该网店每天的销售利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题主要考查了列一次函数和二次函数解决销售问题和盈利问题，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． （1）设销售单价为x元，每天销售量为y个，根据题意列出一次函数解析式即可； （2）假设销售利润为，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设销售单价为x元，每天销售量为y个，根据题意得， ； （2）解：假设销售利润为，根据题意得， ， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下，顶点为最高点，顶点横坐标处取最大值， 此时，， 则（元）， 所以，当销售单价是50元时，该网店每天的销售利润最大，最大利润是1800元． 重难点11 二次函数定值问题 40．（2024·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线为常数，且与轴交于点（点在点左侧），顶点是． (1)若点的坐标为． 求抛物线的函数表达式； 如图，点在抛物线上，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (2)如图，若直线与该抛物线交于点，试探究线段的长是否为定值，若是，求出的长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1) ；点的坐标为：或； (2)是，． 【分析】将点的坐标代入二次函数表达式，求出的值，即可求解； 若是以为底的等腰三角形，则点在的中垂线上，即可求解； 过点作，过点作，设点、的横坐标分别为，，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，设直线和轴的夹角为，则，根据，即可求出的长． 【详解】（1）解：将点的坐标代入二次函数表达式， 可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 抛物线的表达式为：； 若是以为底的等腰三角形，则点在的中垂线上， 由可知二次函数的解析式是， 抛物线的顶点坐标为， 则的中点坐标为，即， 设直线的解析式为， 把点，代入解析式， 可得：，解得：， 直线的表达式为：， 如下图所示，过点作交轴于点， 则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得：， 则点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：，解得：， 的中垂线的表达式为：， 解方程组， 可得：，， 点的坐标为：或； （2）解：是，理由如下： 设点、的横坐标分别为，， 解方程组 整理得：， 整理得：， 、是方程的两个根， ，， ， ， 如下图所示，过点作，过点作， 则有， ， 则点的坐标为，点的坐标为， 在中，， 设直线和轴的夹角为，则，， ， ， 即， ， 解得：为常数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 41．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，抛物线与x轴交于点O和点A，将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线．    (1)抛物线表达式为；_______； (2)点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q．设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q． ①若，求的值； ②试判断是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，这个定值为6． 【分析】（1）根据平移的性质，求出抛物线的解析式即可； （2）①求出点坐标，再求出直线的表达式，求出点坐标即可求解； ②过点P作轴，过点Q作轴于点Q，证明，得出，根据，，，，得出，求出． 【详解】（1）解：∵， ∴将抛物线沿x轴向右平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为： ； （2）解：把代入得，， 点， 令， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去），， 则； ②是定值；过点P作轴，过点Q作轴于点Q，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q， ∴点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 42．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 43．（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查属于二次函数综合题，考查二次函数的交点式，一次函数解析式，两条直线的交点坐标等． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标设交点式，与对比，求出a的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点D坐标，证明点D满足直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，求出直线，的解析式，联立求出点P的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 即抛物线的函数表达式为； （2）证明：设直线对应的函数表达式为， 为中点， ． 又 ， ，解得：， 直线对应的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：或， ， ，， ，即满足直线对应的函数表达式， 点在直线上，即，，三点共线； （3）解：小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值， 故在（2）的条件下，，，，， 直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立上述两式得：， 解得：， 则点，， 此时的面积． 重难点12 二次函数整点问题 44．（2024九年级下·云南·学业考试）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，整数的值为，，0，1 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入抛物线解析式得出，再根据对称轴代入即可求解． （2）解关于的二次方程，得出，且是整数，是整数，进而可得出是奇数，且是6的因数．则可得出或．解除a的值即可． 【详解】（1）解：当时， ∴抛物线的对称轴是直线 （2）解：存在整数，使图象与轴的公共点中有整点． 理由如下： 由是整数，得． 解关于的二次方程得 ，． ，且是整数，是整数， 是奇数，且是6的因数． 或． 由得或． 由得或． 综上所述，存在整数，使图象与轴的公共点中有整点，且整数的值为，，0，1． 45．（2024·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，抛物线．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”． (1)当时， ①求该抛物线的顶点坐标； ②求该抛物线与轴围成的图形边界上的整点数 (2)若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②，，，，，，， (2) 【分析】（1）①将二次函数配成顶点式，即可得到顶点坐标；②先求出该抛物线与轴的交点，确定x的范围后再进行计算即可求解； （2）结合图象确定有4个整数点时m的最大和最小值，进而确定m的范围． 【详解】（1）①当时， ， 抛物线顶点坐标为， ②当时， 抛物线与轴交点为和，顶点坐标为， 此时抛物线与轴边界有，，，，，，，八个整点； （2） 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有，，，四个整点，如图： 当抛物线顶点为，即时， 抛物线与直线所围成的区域内（不含边界）有一个整点： 结合图象可知，． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征，数形结合解题是解题的关键． 46．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的图象经过点，交抛物线位于第四象限的图象于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一个动点，若点与点之间部分（含点与点）图象最高点和最低点纵坐标之差等于时，求点的坐标； (3)连接，若内部（不含边）有个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）分两种情况：点在对称轴的左侧和点在对称轴的右侧，根据抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为，先求出点的纵坐标，再代入函数解析式求出点的横坐标即可求解； （）由题意得：内部（不含边）有个整点，这个整点为，，，，，，，得到直线必经过点或经过与之间的点，不包括，据此求出的取值范围即可求解； 本题考查了用待定系数法求解析式，二次函数点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点，解题的关键是准确理解二次函数的点的坐标特征，利用数形结合解决问题． 【详解】（1）解：（）∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得 抛物线的解析式为； （2）. ， 抛物线的顶点坐标为 当点在对称轴的左侧时， 此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为， 此时点是最低点，点是最高点， 点的纵坐标为， 令，则 解得（正数不合题意舍去）， ； 当点在对称轴的右侧时， 此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为， 此时顶点是最低点，点是最高点， 点的纵坐标为， 令，则 解得（负数不合题意舍去）， ； 综上，当此抛物线在点与点之间部分（含点和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为时，或； （3）解：的取值范围为． 由题意得：内部（不含边）有个整点， 如图，则这个整点为，，，，，，， 直线必经过点或经过与之间的点，不包括， 直线必经过点时， ， 解得 直线经过点时， ， 解得 ； 综上，的取值范围为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $