2024年中考九年级数学专项巩固复习：二次函数的最值问题（附答案）

2024年中考九年级数学专项巩固复习 二次函数的最值问题 1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣3），过点P作x轴的垂线，交线段AF于点D，求线段PD长度的最大值； （3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，若，求点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线. （1）求直线l的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标. 4． （1）如图，，点在的平分线上，点，分别在边，上，且，连接求线段的最小值； （2）如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上即，可分别绕点，按顺逆时针方向旋转照明灯的大小忽略不计，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度可利用备用图解答 5．如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ （3）已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由． 6．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值． （3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点在的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由． 7．已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接． （1）直接写出结果；　 　，　 　，点A的坐标为　 　，　 　； （2）如图1，当时，求点P的坐标； （3）如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m． ①求m的值； ②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 9．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 10．已知抛物线过点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点在线段上（与点不重合），点是的中点，连接，过点作交于点，连接，当面积是面积的3倍时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围． 答案 1．（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0）， ∴，解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）解：如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q， 设直线AF的解析式为y＝kx+d， 由A（3，0），F（0，﹣3）的坐标得，直线AF的表达式为：y＝x﹣3， 设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则D（t，t﹣3）， ∴PD＝﹣t