24.2 直角三角形的性质 学案 2023—2024学年华东师大版数学九年级上册

24.2 直角三角形的性质 素养目标 1.经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的发现过程. 2.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的证明过程. 3.会用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理进行简单的推理和计算. ◎重点:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的证明及应用. 预习导学 知识点一 直角三角形的性质(3) 阅读课本本课时“探索”至“例”之间的所有内容,回答下列问题. 1.在“图24.2.1”中,经过测量可得CD=　 　,AB=　 　,因此CD=　 　AB,于是我们可以得出如下猜想:直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　. 2.演绎推理是指从一般性的　 　出发,通过　 　即演绎,得出　 　或　 　的过程. 3.在“图24.2.2”中,通过延长CD至点E,使得DE=　 　,连接AE、BE可得四边形AEBC.根据CD是斜边AB上的中线可知点D是AB的 ,即 = ,因为　 　=　 　,所以四边形AEBC是　 　,又因为∠ACB=　 　,所以四边形AEBC是　 　,根据矩形的对角线相等可得　 　=　 　,所以CD=　 　AB,由此我们可以得到直角三角形的又一条性质,即性质(3):直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　. 【答案】1.1.7 cm　3.4 cm　　一半 2.前提　推导　具体陈述　个别结论 3.CD　中点　BD　AD　DE　CD　平行四边形　90°　矩形　CE　AB　　一半 归纳总结　直角三角形的性质(3):直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　. 【答案】一半 知识点二 直角三角形的性质(3)的应用 阅读课本本课时“例”中的所有内容,回答下列问题. 在“图24.2.3”中,取斜边AB的中点　 　,连接CD,则CD是直角三角形斜边上的　 　,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD=　 　AB,因为点D是斜边AB的中点,所以　 　=　 　,所以BD=　 　,又Rt△ABC,所以∠A+∠B=　 　,又因为∠A=30°,所以∠B=　 　,所以△BCD是　 　,所以BC=CD=　 　AB,由此我们可以得到直角三角形的又一条性质,即性质(4):在直角三角形中,　 　角所对的直角边等于斜边的一半. 【答案】D　中线　　BD　AD　CD　90°　60°　等边三角形　　30° 归纳总结　在直角三角形中,　 　角所对的直角边等于斜边的一半. 【答案】30° 对点自测　在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,∠A=30°,∠C=90°,c=8,则a=　 　. 【答案】4 合作探究 任务驱动一 直角三角形的性质(3) 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的中线,若AB=8 cm,则CD的长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm 【答案】1.B 变式演练　1.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的中线,若CD=3cm,则AD的长为_______cm. 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,AC=6 cm,BC=10 cm,求CD的长. 【答案】1.3 2.解:在Rt△ABC中,AC=6 cm,BC=10 cm,由勾股定理及AB>0有AB=2. ∵D为斜边AB的中点,∴CD为斜边AB的中线,∴CD=AB=. 方法归纳交流　直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　. 【答案】一半 任务驱动二 直角三角形性质(3)的应用 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,若AB=2 cm,则AC的长为 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 4.如图,在△ABC中,AC=AB,∠A=30°,AC=8,则AC边上的高BD的长是 ( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 5.在Rt△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,若AB=6 cm,则BC=　 　cm. 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=9 cm,求BC的长. 7.如图,在Rt△ABC中,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,与BC相交于点D,且AB=4,求AD的长. 【答案】3.A 4.C 5.3 6.解:在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AB=2BC. ∵AB+BC=9 cm,∴2BC+BC=9 cm,∴BC=3 cm. 7.解:在Rt△ABC中,∠B=30°,AB=4,∴AC=AB