2024年山西省中考数学几何压轴题——题型1、 两条线段数量关系问题

2024年山西中考几何压轴题分阶突破——题型1、两条线段数量关系问题 一阶——设问突破练 1.如图，矩形ABCD中，点O是BD的中点，点E是AD上一点，连接EO并延长交BC于点F,连接CE,若CE=CF,∠CFE=2∠CBD.求证：BD=2CD. 2.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E,AF平分∠DAE与BD交 于点F,过点F作FG⊥BC于点G.试探究BF与AB之间的数量关系，并说明理由. 3.如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交DC延长线于点F,交BC于点E,点G是EF的中点，连接DG,BG,CG,求证：DG=BG. 4.如图，矩形ABCD中，过点A作BD的垂线交BD于点E,连接CE,过点E作EF⊥CE交AD于点F,若BC=2AB,请探究DC与AF之间的数量关系，并说明理由. 5.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,延长BA至点E,使得BE=DE,连接OE交AD于点F,若△EAD为等腰直角三角形，求的值. 6.如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，DE和AF相交于点P,若,求的值. ▶方法总结◀ 1.判断两条线段相等常会用到以下方法： (1)利用等腰三角形的性质，通过判断两底角相等来解决，适用于第2题； (2)利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，适用于第1题； (3)利用金等三角形的性质， 注：倍长中线适用于第6题；手拉手模型适用于第3题. 2.判断线段倍数关系常会用到以下方法： (1)利用相似三角形的性质，通过对应边成比例来解决，适用于 (2)构造真角三角形解决,倍线段问题适用于第5题. 二阶——百变图形练 母题 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°,点M为AC上一点，连接BM,若sin∠BMC=，AB=2,求的值. 【破题关键点】由图中含有45°角，结合已知三角函数值构造直角三角形即可求解. 变式1 增加三角形，由已知三角函数变为已知线段数量关系 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°,点M为AC上任一点，以BM为直角边向右作等腰Rt△BMN,MN与BC相交于点0,连接NC,若BM=AM.请探究线段AM与AC之间的数量关系. 【破题关键点】由两个等腰直角三角形可得到“手拉手”全等三角形，再结合等腰直角三角形中边的关系即可得到结论， 变式2 点的位置改变，结合中线 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,点M为AC的中点，点N为BC上一点，连接BM,AN交于点0,若NC=2BN,求证：BO=OM. 【破题关键点】点M为AC的中点，利用倍长中线构造全等三角形，结合“8”字型相似，将BN与NC的比值关系进行转化，进而得证， 三阶——综合强化练 1. 创新题·纠错反思 李老师在课堂上布置了一道数学题如下： 已知正方形ABCD和等腰Rt△CEF,且∠CEF=90°,点G是AF的中点，连接GE. 如图①,当点E在正方形ABCD内部，且点F在线段BC上时，连接BG,发现BG=GE,小敏同学给出的证明过程如下： 证明：如图①,连接AC, ∵∠CEF=90°, ∴△AEF为直角三角形.? ∵G为AF的中点， ∴AG=GF=GE. 在Rt△ABF中，G为AF的中点， ∴AG=BG=GF ∴BG=GE. (1)小敏认为自己正确地证明了结论，但老师却在证明过程中划了一条线，并打了“?”,请你指出其中的问题，并写出正确的证明过程； (2)如图②,当点E在CD边上，且点F在正方形ABCD的外部时，求证：； (3)如图③,当点E,F都在正方形ABCD外部，且点E在DC的延长线上时，探究此时线段GE和DE的数量关系，并说明理由. 2. 创新题·综合与实践、注重过程性学习 在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①,□ABCD中，∠BAD=60°,点O是对角线BD的中点，点P是直线BD上的一个动点，分别过点B,D作BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别为E,F,连接OE,OF.试判断线段OE与OF的数量关系. 【探究展示】 当点P在线段BD上时，勤奋小组发现OE=OF,并展示了如下的证明方法： 证明：如图②,延长FO,交BE于点G, ∵点O是对角线BD的中点， ∴OB=OD. ∵BE⊥AP,DF⊥AP, ∴∠BEF=∠DFE=90°, ∴BE//DF ∴(依据1). ∴0G=0F=GF. ∵∠GBF=90°, ∴OE=GF(依据2). ∴OE=OF. 【反思交流】 (1)①上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1: 依据2: