专题1.10 三角形的证明章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.10 三角形的证明章末十大题型总结（培优篇） 【北师大版】 【题型1 由HL证明全等】 1 【题型2 由三线合一求值或证明】 2 【题型3 等腰三角形中分类讨论】 3 【题型4 双垂直平分线求角度与周长】 4 【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】 5 【题型6 勾股数、勾股树】 6 【题型7 尺规作图与证明、计算的综合运用】 8 【题型8 由勾股定理证明线段之间的关系】 9 【题型9 由勾股定理求最值】 11 【题型10 等边三角形的十字结合模型】 12 【题型1 由HL证明全等】 【例1】（2023八年级上·山东济南·期末）如图，于点B，于D，若，且，，则的长为（   ） A．1 B．4 C． D． 【变式1-1】（2023八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，点在上，交于点，的周长为的周长为，则边的长为 ．    【变式1-2】（2023八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 【变式1-3】（2023八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分．若，，的长为 ． 【题型2 由三线合一求值或证明】 【例2】（2023八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知为，点在边上，，点、在边上，．若为，则为 ． 【变式2-1】（2023八年级上·山东青岛·期末）（1）如图，已知与交于点，，，则与的数量关系是______； （2）如图，已知的延长线与交于点，，，探究与的数量关系，并说明理由． 【变式2-2】（2023八年级上·重庆丰都·期末）如图，在中，，，平分，点M为上一点，且，则 ． 【变式2-3】（2023八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，点是上一点，于点，于点． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 【题型3 等腰三角形中分类讨论】 【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，中，，，为边上一点（不与、重合），将沿翻折得到，交于点．若为等腰三角形，则为（    ）    A． B．或 C． D．或 【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．    【题型4 双垂直平分线求角度与周长】 【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点、是的边上的两点，线段的垂直平分线交于，的垂直平分线恰好经过点，连接、，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交与E，则的周长等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．12 【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E．已知的周长为，分别连接，若的周长为，则的长为 ．    【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】 【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有以下结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在中，的平分线交于点恰好是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为 ．    【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．    【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为 ． 【题型6 勾股数、勾股树】 【例6】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相