2024年中考数学二轮复习——相交线与平行线 猪脚模型 讲义

相交线与平行线——猪脚模型 例1．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD． （2）如图2，在AB∥CD的前提下，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论． （3）如图3，写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数＝　 　． 解：（1）如图1，过P点作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴CD∥PO∥AB， ∴∠BPO＝∠B，∠OPD＝∠D， ∵∠BPD＝∠BPO+∠OPD， ∴∠BPD＝∠B+∠D． ∵∠B＝50°，∠D＝30°， ∴∠BPD＝∠B+∠D＝50°+30°＝80°； （2）∠B＝∠D+∠BPD， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BOD， ∵∠BOD＝∠D+∠BPD， ∴∠B＝∠D+∠BPD； （3）∵∠CMN＝∠A+∠E，∠DNB＝∠B+∠F， 又∵∠C+∠D+∠CMN+∠DNM＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 故答案为：360°． 例2．（1）如图1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF的度数． （2）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数． 解：（1）延长EP交CD于点G， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠PGF＝40°， ∵∠PFD＝110°， ∴∠PFG＝180°﹣∠PFD＝70°， ∵∠EPF是△PFG的一个外角， ∴∠EPF＝∠PGF+∠PFG＝110°， ∴∠EPF的度数为110°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF， 理由：如图：设AB与PF交于点M， ∵∠PMA是△PME的一个外角， ∴∠PMA＝∠PEA+∠EPF， ∵AB∥CD， ∴∠PMA＝∠PFC， ∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF； （3）由（2）可得： ∠PFC＝∠PEA+∠EPF， ∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°， ∵EG平分∠AEP，FG平分∠PFC， ∴∠GEA∠AEP，∠GFC∠PFC， 由（2）得： ∠GFC＝∠G+∠GEA， ∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA ∠PFC∠AEP （∠PFC﹣∠AEP） 60° ＝30°， ∴∠G的度数为30°． 例3．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点． （1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ 　； （2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°； （3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设∠E＝m，∠BAF∠FAE，∠DCF∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数． 解：（1）55° 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF， ∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2， ∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°， 故答案为55°． （2）如图所示，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG， ∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， 即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°． （3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下： 由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF， ∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE， ∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF， ∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC， 由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°， ∴2∠AFC+∠AEC＝360°． ②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°， ∵∠BAF＝∠FAE，∠DCF∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F， ∴∠F（∠FAE+∠FCE）， ∴∠FAE+∠FCE＝n∠F， ∴∠F+∠E+n∠F＝360°， ∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m， ∴∠F． 例4．如图1，AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，PE⊥QE． （1）直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为 　 　； （2）如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数； （3）如图3，M为线段PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为 　． 解：（1）延长PE交CD于点F， ∵PE⊥QE， ∴∠PEQ＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠BPE＝∠PFC， ∵∠PEQ是△QEF