2024年 九年级数学中考复习 猜想证明综合压轴题 专题训练

2024年春九年级数学中考复习《猜想证明综合压轴题》专题训练（附答案） 1．在矩形ABCD中，E是AD延长线上一点，F、G分别为EC、AD的中点，连接BG、CG、BE、FG． （1）如图1，① 求证：BG＝CG； ② 求证：BE＝2FG； （2）如图2，若ED＝CD，过点C作CH⊥BE于点H，若BC＝4，∠EBC＝30°，则EH的长为______________． 2．已知：△ABC和△ADE按如图所示方式放置，点D在△ABC内，连接BD、CD和CE，且∠DCE＝90°．    （1）如图①，当△ABC和△ADE均为等边三角形时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由； （2）如图②，当BA＝BC＝2AC，DA＝DE＝2AE时，试确定AD、BD、CD三条线段的关系，并说明理由； （3）如图③，当AB：BC：AC＝AD：DE：AE＝m：n：p时，请直接写出AD、BD、CD三条线段的关系． 3．如图，在ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD． （1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长； （2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC； （3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系． 4．如图，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边分别交于两点，点是线段上的一个动点． （1）求证：； （2）连结，若三角形的面积为，求点的坐标； （3）在第（2）问的基础上，设点是轴上一动点，点是平面内的一点，以为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标． 5．在中，，是上一点，，点在上． （1）过点作的垂线分别交，于，． ①如图1，当时，________，________； ②如图2，若是的中点，当时，求证：是等边三角形； （2）如图3，若是的中点，，直接写出的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，其中a、b、c满足关系式．    （1）求a、b、c的值． （2）如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积． （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E，F分别在AB，BC上． （1）若n＝1，AF⊥DE． ①如图1，求证：AE＝BF； ②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG＝AG； （2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则的值是_____________（结果用含n的式子表示）． 8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F． （1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数； （2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G． ①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值； ②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程． 9．如图，是的外接圆，是的直径，点是半圆的中点，点是上一动点（不与点、重合），连接交于点． （1）如图1，过点作，交延长线于点，求证：与相切； （2）若，，求的长； （3）如图2，把沿直线翻折得到，连接，当点在运动时，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，DE⊥DC交AB于E．    （1）求证：DE平分∠ADB； （2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，设∠F=α． ①若α＝50°，求∠A的值； ②若∠F＜，试确定α的取值范围． 11．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD． （1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）； （2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD； （3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明． 12．（1）问题发现 如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是　 　． （2）拓展探究 如图2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE＝α，则