精品解析：河南省开封市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题

开封市2024届高三年级第二次质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数是奇函数，则实数（ ） A 0 B. C. 1 D. 4. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. 81 B. 162 C. 243 D. 486 5. 若，则（ ） A. B. 40 C. 41 D. 82 6. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C D. 7. 若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知经过圆锥轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，（其中是虚数单位，，），若为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 10. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入的极差为12 B. 估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9 C. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D. 估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数，例如，．下列命题中正确的有（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________. 13. 袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 14. 已知过双曲线左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积． 条件① ：；条件② ：；条件③ ：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 在四棱锥中，平面底面，． （1）否一定成立？若是，请证明，若不是，请给出理由； （2）若是正三角形，且是正三棱锥，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小． 19. 在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为． （1）试求，，，的值； （2）设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系； （3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的素数p，q； ②计算，欧拉函数； ③求正整数k，使得kq除以余数是1； ④其中称为公钥，称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．