2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型三 综合与实践 (几何探究题)

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型三 综合与实践 (几何探究题)（三） 类型三 、与图形折叠有关的探究 1、 题型解读（必考） “活动建议”在数学课程标准中称为综合与实践，是以问题为载体，以学生自主参与为主，通过问题引领，学生全员参与，实践活动过程相对完整的学习活动，山西省中考数学试题关注“综合与实践”的考查，2017年22题，2019年22题，2021年22题都是以折叠实践操作为主，在实践操作中引导学生进行猜想、验证、求解，考查了学生的直观思维、逻辑推理、创新思维能力和综合运用所学知识解决问题的能力，是典型的综合实践试题。 二、解题策略 1、折叠的性质： 折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2.解题技巧： （1）对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系． （2）在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 （3）利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． （4）勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 三、真题回顾 1．（2021山西省中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明. 独立思考：（1）请解答老师提出的问题. 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明. 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，如图（3），点A的对应点为，使于点H，折痕交AD于点M，连接，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此的面积为20，，，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果. 2．（2019山西省中考真题）综合与实践 动手操作： 第一步：如图1，正方形纸片沿对角线所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为．如图2． 第二步：再沿所在的直线折叠，与重合，得到图3． 第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接．如图5，图中的虚线为折痕． 问题解决： （1）在图5中，的度数是______，的值是______． （2）在图5中，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：______． 3、（2017年山西省中考真题）综合与实践 背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或 的三角形就是（3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平． 问题解决 （1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形． （2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明． （3）请在图4中证明△AEN是（3，4，5）型三角形． 探索发现 （4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称． 四、针对练习 1．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，其中E点在边上，F、G分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点