第18章平行四边形及矩形菱形正方形中的折叠问题专题探究-2023-2024学年八年级下学期数学人教版

专题02 平行四边形及矩形、菱形、正方形中的折叠问题（原卷版） 思路与技巧： ①折叠是一种全等变换，是轴对称 ②折痕就是角平分线。因为平行四边形包括矩形菱形正方形有平行线，所以蕴含“平行平分出等腰”的模型 ③折痕就是垂直平分线——对应点之间的线段被折痕垂直平分。 ④解决四边形的折叠问题，要转化为三角形的问题，常需要寻找或构造直角三角形，利用勾股定理求解。求角度往往要寻找等腰三角形。 典例剖析+变式训练 类型一 平行四边形的折叠 【典例1】（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC，则B′D的长是（　　） A．1 B． C． D． 【典例2】（武汉中考）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 　 　． 【变式训练】 1．（常德中考）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝　 　． 2．（2021春•邗江区期中）如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝　 °． 3．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝74°，则∠NPB′＝ 　°． 类型二 矩形的折叠 【典例3】（2020•莲湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），若将△OAB沿OB翻折，点A的对应点为点E，OE交BC于点D，则点D的坐标为（　　） A．（，6） B．（，6） C．（，6） D．（，6） 【典例4】（2023春•镇海区期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（　　） ①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练】 1．（2023秋•西乡塘区月考）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2022•东胜区三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2022春•三台县月考）如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 4．（2020春•五莲县期末）如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（　　） A．60° B．64° C．42° D．52° 5．（2023春•潍坊期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD的度数为（　　） A．37° B．74° C．96° D．106° 6．（2023秋•邯郸期末）数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（　　） 甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求． 乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，且AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求． A．甲和乙的折法都正确 B．只有甲的折法正确 C．只有乙的折法正确 D．甲和乙的折法都不正确 7．（2022秋•宝安区期末）如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（　　） A． B． C． D． 8．（