2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型三 综合与实践 (几何探究题)（二）

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型三 综合与实践 (几何探究题)（二） 类型二与图形旋转有关的探究 一、题型解读: 综合与实践属于过程探究题，旨在引导学生动手操作、自主探索、小组合作、交流共享，通过图形变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力，主要考查类型有操作探究、平移、旋转、折叠，常常与三角形全等、相似及一些重要的几何定理综合考查，让学生在实践过程中，学会发现问题、解决问题，培养严谨的逻辑思维，应用意识，提高解决问题的能力。 二、解题策略 在涉及图形旋转变化的考题中，解决问题的方法较多，决定因素是旋转中心和旋转的角度，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．在图形的变化过 程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，抓住旋转变换的三要素，再根据具体图形变换的特点确定其变化。 旋转知识点 1． 旋转的概念： 图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心． 理解旋转这一概念应注意以下两点：（1）旋转和平移一样是图形的一种基本变换（2）图形旋转的 决定因素是旋转中心和旋转的角度． 2． 旋转的基本性质： 图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化． 3． 解题的关键： 要抓住图形变化过程中的几何不变性及旋转不变性、数值不变性等，旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解决图形旋转有关问题时，要注意挖掘相等线段，相等角，因此特殊三角形的性质的应用，锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用。 三、真题回顾 1．（2023山西省中考真题）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中,.将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）.当时，延长DE交AC于点G.试判断四边形BCGE的形状，并说明理由. 数学思考： （1）谈你解答老师提出的问题. 深入探究： （2）老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题. ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题. ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果. 2．（2022山西省中考真题）在中，，，.直角三角板EDF中，，将三角板的直角顶点D放在斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N. （1）如图(1)，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； （2）如图(2)，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图(3)，在三角板旋转过程中，当时，求线段AN的长. 3．（2020山西省中考真题）综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接. （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； （3）如图①，若，请直接写出的长. 四、针对练习 1．综合与实践 八年级同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展如下数学探究活动： （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，则_____.若F是的中点，连接，则与的数量关系是_____. 迁移探究： （2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点A逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系. 拓展应用： （3）如图3，在中，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接.在旋转过程中，当时，求的长. 2．综合与实践 在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，.请解答下面的问题. 观察猜想： （1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______. 探究证明： （2）如图2，D，E分别是边，的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，. ①求证：； ②若，，求的长.. 3．综合与实践： 问题情境： 数学课上，老师组织同学们开展了一次项目学习，项目内容：已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与点A，B重合）.连接，以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，连接. 试探究：线段，，之间的数量关系. 操作发现： 活动中，大家积极思考，通过操作发现，共有以下三种图形位置关系： ①如图1，点D在线段上 ②如图2，点D在线段的延长线上 ③如图3，点D在线段的延长线上 （1）请直接写出