2024年中考数学复习专题：利用中点构造全等三角形证明

2024年中考数学复习专题：利用中点构造全等三角形证明 在图形证明过程中，当已知中出现线段的中点时，可利用这个中点构造全等三角形，下面大家来看几道例题。 例1 如图1ABC和ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=9，点F为BE中点，连接DE，CF。当点D在AC上，点E在AC下方， 求证：DF=CF . 图 2 图 1 证明：如图2延长DF交BC于点M. 因为 ∠ACB=∠ADE=9 所以 DE//BC 所以 ∠DEF=∠FBM ∠EDF=∠BMF 又因为 F是BE的中点 所以 EF=DF 可证 所以 DF=MF 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得： CF=DF 例2 已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F。 （1）当直线m经过B点时，如图3，易证EM＝CF。（不需证明） （2）当直线m不经过B点，旋转到如图4的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并加以证明。 图 4 图 3 证明：在图4中DB+CF=2EM 证明如下：如图5 连接FM交DB的延长线于点N. 因为 BD⊥m CF⊥m 所以 BD//CF图 5 所以可得 ∠BNM=∠CFM ∠NBM=∠FCM 因为 M是BC的中点 所以 BM=CM 可证 . 所以 BN=CF MN=FM 又因为ME⊥m 所以 EM是FDN的中位线 所以 DN=2EM 即： DB+BN=2EM DB+CF=2EM 例3 如图6，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．如图所示，若∠ABC＝30°，求证：DF+BH＝BD； 图6 图7 证明：连接CF.如图7 因为 AB=BC 所以 ∠BAC=∠ACB 又因为∠ABC=3 AD⊥BC 可得：∠BAC=7 ∠BAD=6 由已知易证 . 所以 ∠BCF=6 AF=CF. 因为 M是BC的中点 所以 BM=CM 可证 . 所以BH=CF=AF 在Rt，∠ABC=3 所以 所以 AD=BD 即 AF+FD=BH+FD=BD 例4 都是等腰直角三角形，C为它们的公共顶点，连接AD,BE,F为线段AD的中点，连接CF. (1)如图（8）当点D在BC上时，线段BE与CF的数量关系是 。 （2）如图（9）把绕点C顺时针旋转45度，其他条件不变，（1）中的数量关系是否仍然成立，如果成立，请证明，如果不成立，说明理由。 图 9 图 8 证明（1）易证 . 得到:AD=BE 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。可得BE=2CF （2）BE=2CF结论成立 证明：如图10 延长CF到M，使CF=FM.连接AM. 因为P是AD的中点 所以 AP=DP 可得 . 所以 AM=CD ∠CDF=∠MAF 因为 CD=CE 所以 AM=CE 因为 ∠ACD+∠CAD+∠ADC=∠18 又可得 ∠ACD=4图10 所以 ∠MAC=13 又可得 ∠BCE=13 所以 . 得到 BE=CM=2CF 巩固提高题： 1、∆ACB和∆CED是等腰直角三角形，∠CED=∠BAC=90度，点E在直线AC上，F是线段BD的中点，边接FE.求证;AB-DE= 2、在菱形ABCD和正三角形BGF中∠ABC=60度，P是DF的中点，连接PG,PC。线段PC与PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并证明。 3、三角形ABC中，AB>AC,在三角形外侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，分别取DB,CE,BC的中点M,N,G.连接GM,GN.证明：GM=GN. 4、正方形ABCD与正方形DEFG有一个共同顶点D,当BEF三点在同一直线上时，AH⟂BE于点H,求证BE-EF=2AH. 5、已知三角形ABC中，∠ACB=90度，点E在BC上，CE=CA,点D在AB上，∠ACB+∠ADE=180度，作CH⟂AB,CF⟂CD交BA的延长线于点F.求证;DE+AD=2CH 学科网（北京）股份有限公司 $$