7.3复数的三角形式-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

7.3复数的三角形式 【考点梳理】 考点一：复数的三角表示 考点二：复数的辐角 考点三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义 考点四：复数三角表示综合问题 【知识梳理】 知识点一、复数的三角形式的概念 1.复数的辐角 (1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角。 (2)辐角主值 [0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。 (3)常用的有关辐角主值的结论 当aR+ 时arg a=0 ，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。 2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。 3.复数的三角形式 复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。 知识点二、复数的三角形式的乘除法 1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式 (cosθ2+isin。则 。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘： =。 因此，如果 就有 [。 这就是说，复数的 次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。 2.复数的除法 设 则z₁除以z₂的商：)]。 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 【题型归纳】 题型一：复数的三角表示 1．（22-23高一·全国）以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．； B．； C．； D．． 2．（2023·湖北·二模）复数与下列复数相等的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 题型二：复数的辐角 4．（21-22高一·全国·课时练习）设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·广东广州·期中）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高三上·福建泉州·期中）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义 7．（20-21高三下·辽宁丹东·阶段练习）已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 8．（21-22高三上·重庆渝中·阶段练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（    ） A． B． C． D． 9．（19-20高一下·辽宁·期末）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（    ） A．， B． C． D． 题型四：复数三角表示综合问题 10．（22-23高一·全国·课堂例题）计算下列各式，并把结果化成代数形式： (1)，(2)． 11．（22-23高一下·湖南邵阳·期中）已知复数，，求当满足什么条件时， (1)在复平面内对应的点关于实轴对称； (2). 12．（22-23高一下·河北衡水·期末）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 【双基达标】 一、单选题 13．（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 15．（22-23高一下·河北沧州·期中）已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（22-23高一下·全国·课时练习）设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的（    ） A．   B．   C．   D．   17．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 18．（22-23高一·全国·随堂