7.2复数的四则运算-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）

7.2复数的四则运算 【考点梳理】 考点一：复数加减法的代数运算 考点二：复数加减法的几何意义 考点三：复数代数形式的乘法除法运算 考点四：复数范围内因式分解和乘方 考点五：复数范围内解方程 考点六：共轭复数问题 考点七：复数的综合问题 【知识梳理】 知识点一　复数加法与减法的运算法则 1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2.对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 知识点二　复数加减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 知识点三　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 知识点四　复数除法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则＝＝＋i(c＋di≠0). 【题型归纳】 题型一：复数加减法的代数运算 1．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23高一下·广西·期末）已知，，，则（    ） A．－4 B．7 C．－8 D．6 3．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 题型二：复数加减法的几何意义 4．（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一下·重庆江北·阶段练习）已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 题型三：复数代数形式的乘法除法运算 7．（2024·广东佛山·一模）复数（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·湖北·期末）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D．1 9．（22-23高一·全国·随堂练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)． 题型四：复数范围内因式分解和乘方 10．（21-22高一下·福建福州·期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）已知复数满足：，则 ． 12．（21-22高二上·上海杨浦·期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､. (1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解； (2)若，求实数a的值. 题型五：复数范围内解方程 13．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知为虚数单位，复数是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 14．（22-23高一下·江苏徐州·阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则 . 15．（22-23高一下·山东青岛·期中）已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 . 题型六：共轭复数问题 16．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．5 17．（2024·陕西宝鸡·一模）已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 题型七：复数的综合问题 19．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知复数满足（是虚数单位）. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 20．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）． (1)求复数； (2)复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 21．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【双基达标】 一、单选题 22．（23-2