专题十 平面向量-【学考一号】2024新教材高中数学学业水平复习方略课堂精讲

学考一号 学业水平复习方略 数学 专题十 平面向量 提纲契领 1. 平面向量的实际背景及概念 2. 平面向量的线性运算 3. 平面向量的基本定理及坐标表示 4. 平面向量的数量积 考点透析 考点概述1 (1)向量的概念;既有大小又有方向的量,如物理学中的力、速度,加速度等,向量的大小叫 做向量的长度(或称向量的模),平面向量是自由向量 (2)零向量:长度为零的向量;其方向是任意的:记作0 (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量,两向量只有相等或不等,不能比较大小 (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量 (6)共线向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,记作a/b,规定0与任一向量平 行,平行向量又叫做共线向量 典例1给出下列命题:①若a =bl,则a=b;②若A,B.C.D是不共线的四点,则AB DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是a |= b 目a/b.其中正确命题的序号是 考查要求 平面向量的概念 理解级 简单题 典例2(多选)以下条件中,能使a/b成立的条件有 _ A. a=b B. a=0或b=0 C. a--2b D. a与b都是单位向量 考查要求 平面向量的概念 理解级 简单题 △考点概述2 (1)向量加法与减法及几何意义:平行四边形加法法则要求两个向量起点相同:三角形加法 法则要求两个向量首尾相连:三角形减法法则要求两个向量起点相同,将两个向量的终点连接 起来,差向量的方向指向被减向量的终点 30 专题十,平面向量 (2)数乘运算:Aa 三Aa :当A>0时,xa的方向与a的方向相同;当入<0时,Aa的方向 与a的方向相反:当入=0时,xa=0 (3)共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数A.使得b=xa 典例1已知向量a=(x,1),b=(2,-3),若a/b,则实数x的值是( 2 B C.-3 D. 考查要求 平面向量共线 理解级 简单题 典例 2 已知△ABC的三个顶点A.B.C及所在平面内一点P满足PA+PB+PC=AB,则 点P与△ABC的关系是( __ A. P在△ABC内部 B. P在△ABC外部 C. P在边AB上 D. P在边AC上 考查要求 向量的加减法运算;向量共线定理 了解级 简单题 考点概述3 (1)两个向量的夹角:已知两个非零向量a.b.0是平面上的任意一点,作0A-a.0B=b.则 A0B=9叫做向量a与b的夹角,向量夹角θ的范围是0*<0<180*,当0=0*或180*时,两向量 共线,当=90时,两向量垂直,记作a1b (2)平面向量基本定理:如果e,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的 任一向量a,有且只有一对实数x,A,使a=^e+e:其中,e,e不共线,le,e]叫做表示这一平 面内所有向量的一个基底 (3)平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、v轴方向相同的两个单位向 量1./作为基底,对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使a=xi+y,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,有序数对(x,y)叫做向量a的坐 标,记作a=(x,y). (4)设0A=xi+yi,则向量xi+yi的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标 为(x,v),反之亦成立(0是坐标原点) (5)平面向量的坐标运算 ①向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x,y),b=(x2,y),则a+b=(x+x2,y+y),a-b=(x-x,yr-y),a=(x,y),a =Vx+y. ②向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标;设A(x,v),B(x2.v).则AB=( x1,y-y),A,B两点间的距离AB=V(x-x)+(y-y)? 13ì 学考一号 学业水平复习方略 数学 (6)平面向量共线的坐标表示 设a=(x,y).b=(x,y),其中b≠.a/bxy-xy= 典例1 如图,在平行四边形ABCD中,M.N分别为DC.BC ### 的中点,已知AM=c.AV=d.试用c.d表示AB.AD 考查要求 平面向量基本定理 理解级 简单题 典例2(多选)已知向量a=(2.1),b=(-3.1),则 __ A.a/b 2 C. a+2b|=5 (2#,)# D. 与向量a方向相同的单位向量是 考查要求 平面向量共线的坐标表示、向量的概念与向量的模 掌握级 中等题 考点概述4 (1)平面向量的数量积:已知两个非零向量a和b.它们的夹角为e.则把数量a cos6 叫做a和b的数量积(或内积).记作a:b.即a:b=a bcose. 规定:零向量与任一向量的数量 积为0. (2)平面向量数量积的几