专题六 函数的应用-【学考一号】2024新教材高中数学学业水平复习方略课堂精讲

课堂精讲学考一号学业水平复习方略数学 专题六 函数的应用 提纲挈领 1.方程的根与函数的零点 2.几类不同增长型函数的模型 3.函数模型的应用举例 4.函数的综合应用 ⊙考点透析◎ ▲考点概述1 (1)函数零点的概念：对于函数y(x),人们把使f八x)=0的实数x叫做函数y=(x)的零点， (2)方程的根和函数的零点的关系：方程f代x)=0有实根一函数y=f代x)的图象与x轴有交点一 函数=fx)有零点。 (3)零点存在性定理：如果函数y=(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0,那么，函数y=x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f八c)=0,这个c也 就是方程f(x)=0的根. 典例1已知函数f代x)= ro0, 则函数f代x)+1)的零点个数是( x2+2x,x≤0， A.2 B.3 C.4 D.5 考查要求函数零点个数判断 应用级 稍难题 典例2设a,b∈R,已知函数f代x)=x+V2x-a,g(x)=4x+V-1+b的零点分别为x1,2,且 1<x1<x2 (1)若1<x<2,求a的取值范围 (2)若a-6,求证：6x)<号-9， (3)若a>6,求证：x2)+g(x)>0 考查要求函数零点综合应用应用级难题 18 专题六函数的应用 典例3(2022年7月浙江学考，21)x)=+x-2n,>1,>0. (1)若f(2)≤4，求a的范围. (2)求证：代x)有唯一零点 (3)若fxo)=0,求证：2-a+2<fxo+1)<2d2-2a+2. 考查要求函数零点综合应用应用级难题 ▲考点概述2 (1)常见函数模型的理解 ①一次函数模型：其增长特点是直线上升的(x的系数k>0),通过图象可以很直观地认识它 ②指数函数模型：能用指数函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值 增大的速度越来越快（心1），常称为“指数爆炸” ③对数函数模型：能用对数函数表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快(>1)， 但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称为“蜗牛式增长” ④幂函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随x中的取值变化而定，常见的 有二次函数模型。 (2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数y=d(a>1)与幂函数y=x(n>0)在区间(0，+∞)上，无论a与n的大小如何，随着 自变量x越来越大，y=d(a>1)的增长速度会越来越快，最终会快于y=x(>0)的增长速度，因此总 存在一个实数o,当x>x时有>x(a心1，n>0). ②对数函数=logx(a>1)与幂函数y=x(n>0)在区间(0，+∞)上，无论a与n的大小如何，随 着自变量x越来越大，y=logx(a>1)的增长速度会越来越慢，最终会慢于y=x(n>0)的增长速度， 因此总存在一个实数，当x>时有l0gx<x(a>1,n>0). ③由①②可以归纳出尽管三种增长型的函数均为增函数，但它们的增长速度各不同，因此在 (0,+o)上，总会存在一个实数x,当x>时有a>>l0gx(心1，n>0). 典例(1向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与 溶液深度h的图象大致是( 4.4 考查要求增长型函数的图象特点理解级中等题 19 课堂精讲学考一号学业水平复习方略数学 典例(2设neN,代n)=km,g(n)=2,给出下列几种说法： ①当k=2时，由于f代7)<g(),所以满足f代n)>g(n)的n值有6个： ②当k=2"时，由于k较大，所以满足f代n)>g(n)的n值有无穷多个； ③当k=2w时，由于k很大，所以满足f代n)<g(n)的n值可能只有有限个； ④当k=2o时，由于k特别大，所以满足fn)<g(n)的n值可能不存在. 其中正确的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 考查要求幂函数模型与指数函数模型的增长速度对比理解级较难题 ▲考点概述3 (1)函数实际应用问题的方法和步骤 ①审题：设出未知数x,找出量与量的关系： ②建模：建立函数关系式： ③求解：用数学方法解出未知数x: ④回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答 (2)根据实际问题建立函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f八x)=ax+b(a,b为常数.a≠0) 二次函数模型 f八x)=ax+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 指数函数模型 f八x)=ba+e(a,b,c为常数，a>0且a≠L,b≠0) 对数函数模型 f八x)=blogx+e(a,b,c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f代x)=ax+b(a,b为常数，a≠0) 典例1（多选）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许 多领域都有十分广泛的应用.函数f代x)的边际函