圆锥曲线：定值类问题讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线：定值类问题 1.直接算出定值 定值问题——巧妙消参 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决． 1.设椭圆C：y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）． （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB． 2.解方程类 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝，直线l1：y＝k(x－m)(m∈R，m>)与椭圆C交于M，N两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知点R(，0)，若·是一个与k无关的常数，求实数m的值． 3.非对称韦达定理问题 在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”． 例1 已知椭圆过点，且离心率为。 （1） 求椭圆方程 （2）分别为椭圆的上下顶点，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，求证：直线的交点在定直线上 【解析】（1）椭圆 （2）,设，直线的方程为: 联立方程，得，得 则 直线的方程为： ，直线的方程为： （这里先要根据对称性分析预判交点在平行于轴的定直线上以确定下一步的消元方向！！） 联立两直线方程消元： （的系数不对称了） （无论怎么消元都会得到类似的一个非对称结构） 下面给出几种处理技巧： 技巧1：暴力平推（这是没有办法的办法，时间成本高） 由二次方程解出代入化简， ，得 即直线的交点在定直线上 技巧2：利用韦达定理保留一个（这是一种试探性的化简，“前途未卜”，不具一般性） 由韦达定理得带入化简 ，得 即直线的交点在定直线上 技巧3：将与的关系代入化简（倒数反凑对称韦达定理，非对称结构中不含常数项时可尝试此法） 由，得（即）带入化简 ，得，即直线的交点在定直线上 技巧4：带一点进曲线方程转化为对称韦达定理（常见于非对称乘积结构，参考2020年全国一卷题） 带点进椭圆方程得化简得 进而得到，带入化简（奇迹出现了，“对称韦达定理”） 接下来就是常规套路，不多赘述了。 例2 已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值． 技巧一：和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 如本例中由韦达定理可得，，代入目标信息得，稍作整理，即可得，为定值，得证． 若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数， 设，∴ 上面使用的是纵坐标的和积关系，若正设直线，需考虑直线l斜率问题，斜率存在时，同理，借助横坐标的和积关系也可证明，再验证斜率不存在时的情形．考虑到本例中反设直线，两根的和积关系显而易见，而对于一般的和积关系，关系可能不是那么明显，如此例中正设直线，具体可参看技巧三中的解析． 技巧二：配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑 而半代换也有一定技巧，就是配凑．比如题中的，若只代换， 得，依然无法得到定值，因为落单的和不一致，而此时为分式结构，分式结构的定值需要满足上下一致，且对应成比例，抓住这个核心，可以对和其中某个进行配凑使其能构成比例形式．以分子为例，分子要出现形式，可将分子整理为，从结构上可以猜测定值为，不妨将韦达代入，得，得证． 分母可作类似处理，得． 上面使用的是纵坐标的配凑半代换，借助横坐标的配凑半代换亦可证明，可自行尝试． 技巧三：先猜后证 可以先找一个特殊情况先得到该定值，进而再证明其他情形也为该值． 显然先考虑直线l斜率不存在时的情形，此时，，或，，对应为或，，此时均有，为定值． 当直线l斜率存在时，不妨就正设直线，联立， 消得易知△＞0，则 此时目标信息，可采用分析法证明．要证，即证也即，即，即，也即，此时为韦达定理的结构，代入韦达，即证，也即，显然成立，也即恒有，为定值． 上述先猜后证采用的是正设直线，借此我们也说说正设直线时采用和积关系处理和配凑半代换的处理技巧．目标信息直线代换后得 若采用和积关系处理技巧，观察韦达不难发现，此时和积关系没有反设直