弦长公式与面积的12类题型考法总结讲义-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线：弦长公式与面积的12类题型考法总结 1.设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得; （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （4）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． （5）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为 ，时，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． （4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单． （5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式 2.一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，== 3.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 题型一：弦长公式应用 例1.椭圆C的方程为＋y2＝1，过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围． 例2.已知 为椭圆 上的一个动点, , 设直线 和 分别与直线 交 于 两点, 若 与 的面积相等, 则线段 的长为_ 例3.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型二：.底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） 例1.椭圆E：＋y2＝1.过点C(m,0)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，交椭圆E于A，B两点，求△AOB面积的最大值 例2.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋y2＝1，O为坐标原点.设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 题型三：.水平宽·铅锤高 例1.已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，． (1)求椭圆C的方程；(2)求面积的取值范围． 题型四：.特殊的四边形对角线垂直 例1.已知椭圆的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y＝x－相切． (1)求椭圆的方程； (2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最小值． 题型五：.特殊的四边形平行四边形 例1.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1，0)，且该椭圆过定点M． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设点Q(2，0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且＝λ，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值． 题型六：.设点设线类 例1.椭圆C的方程为＋y2＝1，A是右顶点，B是上顶点设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：四边形ABNM的面积为定值． 题型七：等高求底型面积问题 例6．已知椭圆：，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线，的斜率分别为，. （1）求抛物线的方程及的值； （2）求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； （3）若直线交椭圆于、两点，分别是、的面积，求的最小值. 题型八：等底求高型面积问题 例7．如图，已知椭圆E：的离心率为，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线过点B且垂直于x轴，直线AP与交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为，△BQR的面积为，试 判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围. 题型九：等角转化为腰长 例8．已知圆心在x轴上移动的圆经过点A（-4，0），且与x轴、y轴分别交于点B（x，0），C（0，y）两个动点，记点D（x，y）的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点F（1，0）的直线l与曲线交于P，Q两点，直线OP，OQ与圆的另一交点分别为M，N（其中O为坐标原点），求△OMN与△OPQ的面积之比的最大值. 题型十：某边过定点的三角形面积计算 例9.已知椭圆C：经过点，其右顶点为. （1）求椭圆C的方程； （2）若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为.求面积的最大值. 题型十一：某边过定点的四边形面积计算 例10. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足. （1）求动点P的轨迹C的方程； （