定点问题：设线解点与齐次化联立讲义-2024届高三数学二轮复习

定点问题：设线解点与齐次化联立 定点与定值是高考解析几何考查的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定． 直线过定点问题，通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出和的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解．即可得到定点． 求解定值问题的关键是引进参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值． 1．对直线过定点的理解 如：①直线恒过定点； ②对于直线，若，则直线方程为，显然过定点； ③无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____． 【解析】直线可化为， 令，故定点坐标为． 2．直线过定点问题的基本解法 方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为： ①设直线方程为(或)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到或的关系，或者解出的值； ③将②的结果代入(或)，得到定点坐标． 方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为： ①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点的坐标(含参)； ②特殊位置入手，找到定点(有时可考虑对称性)； ③证明三点共线，从而直线过定点．(其中一个方法是证明) 相关结论如下： 定理1：为椭圆上一定点，过点作斜率为的两条直线分别与椭圆交于两点． (1)若，则直线过定点(2)若，则直线过定点 定理2：设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线交椭圆于，直线的斜率分别为，弦的中点记为． (1)若，则直线过定点(2)若，则直线过定点 定理3：过抛物线上任一点引两条弦，直线斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点 解法：设线法 例1.设直线不经过（0.1）点且与相交于两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 例2.椭圆方程且过点A（2，1）． （1）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 解法：设线解点 一．基本原理 设线解点是处理斜率问题的通法之一，它依赖于斜率的坐标定义，所以我们在翻译与斜率有关的问题时就考虑解出坐标，然后表示出斜率来，此法的优点是思维量较小，简单易上手，但是缺点就是往往可能运算量较大，但是在处理多直线的斜率关系时，设线解点配上点参数法不失为一种好的处理方法，可以在下面例子中看到.（点评：虽然设线解点然后利用斜率公式是最朴素的解法，但是其运算量一般不会太小，这也就是我们需要进一步探寻其他计算方法的原因.） 例1.设直线不经过（0.1）点且与相交于两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 例2.已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； 练习1.已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得恒成立. 练习2．已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 练习3.已知点，动点满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值. 解法：齐次化 一．基本原理 中的几何意义为：直线与曲线的交点与原点的连线的斜率，即的斜率，设为，由韦达定理知，，从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出的性质，倒过来，我们也可以通过的性质与二次曲线得出的性质． 若定在不在坐标原点，我们就需要先平移，设平移后的直线为（这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用），与平移后的圆锥联立，构造，然后等式可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，，，即可得出答案. 具体操作步骤 第一步：将坐标系平移到（不妨设其在第一象限）后得到新的椭圆方程： . 第二步，写出直线方程：令，则令. 第三步：联立方程：，凑出满足题干的斜率形式即可. 例1.已知椭圆，不过点的直线与椭圆交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点． 例2.已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 综合讲 例3.已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为． (1)求的方程； (2)证明：直线过定点． 例4.设椭圆 的左右焦点分别为 椭圆上点 到两焦点的距离之和为 , 椭圆的离心率为 . (1) 求椭圆 的方程; (2) 直线 与椭圆 在第一象限交于点 , 点 是第四象限的点且在椭圆