第5章 分式与分式方程（压轴题专练）-2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第5章 分式与分式方程（压轴题专练） 目录： 题型1：分式方程与一元一次不等式组 题型2：分式与二次根式 题型3：化简复杂的分式、求值 题型4：分式有关的规律性问题 题型5：最值问题 题型6：新定义、材料题 题型7：分式方程的实际应用题 题型1：分式方程与一元一次不等式组 1．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 2．已知数m使关于x的不等式组至少有一个非负整数解，且使关于x的分式方程有不大于5的整数解，则所有满足条件的整数m的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：∵，∴可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）一元二次不等式的解集为______． （2）求分式不等式的解集． 题型2：分式与二次根式 4．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 5．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)请根据以上信息，写出根分式中的取值范围：______； (2)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数的值． 6．若三个实数x，y，z满足，且，则有：． 例如：．请解决下列问题： (1)求的值． (2)设，求的整数部分． (3)已知（，），且，当取得最小值时，求的取值． 题型3：化简复杂的分式、求值 7．若满足和，则分式的值为 ． 8．先化简，后求值：，其中x，y满足． 题型4：分式有关的规律性问题 9．将，，，…，依次代入得到，，…，那么 ． 10．观察下列等式： ，， 将以上三个等式两边分别相加得：=++== 猜想并得出：= 根据以上推理，求出分式方程的解是 ． 11．仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题： (1)总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式； (2)类比发现： 计算与的结果； (3)知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程： ； (4)规律应用：化简． 题型5：最值问题 12．《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀门发现新问题、结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边： 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征： 阅读材料二 基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，，∴，即， 当且仅当，即时，有，最小值为2， 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知，求下列各式的值： ①____________ ②____________ （2）若，求的值； （3）已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； （4）若正数a、b满足，求的最小值． 13．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 14．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个