第六讲 一元二次方程2-2023-2024学年全国版数学九年级自招竞赛

第六讲 一元二次方程（二） 【知识概述】 一元二次方程是中学代数专题中最重要的内容之一，既是代数式简单方程的发展，同时也是学习其他方程、函数、不等式的重要基础．探索一元二次方程根的问题，蕴含着丰富的数学思想，近些年已逐渐成为中考、自招考试乃至竞赛中的重要考点之一． 本讲主要包含两个模块，分别是一元二次方程根与判别式的关系、根与系数的关系（即韦达定理）．根与判别式和根与系数的关系在初中阶段比较为学生所熟知，自招考试和数学竞赛均在此基础上进行了一定程度的提升和拓展，对数学思想和方法技巧的要求更上一层楼． 模块一：一元二次方程的判别式 【知识精要】 对于任意一元二次方程，将其配方变形为： ， 将代数式定义为根的判别式，记作， ， 时，方程有两个相异的实数根：， 时，方程有两个相同的实数根：， 时，方程无实数根． 判别式在解方程中的应用 （1）解一元二次方程，或判断方程实数根的情况； （2）已知方程根的情形，求解方程中未知参数的取值范围； （3）整系数方程的有理数解问题： 对于整系数方程，若方程有有理根（或整数根），则其判别式一定是一个完全平方数，否则即为无理根． 无论是明确已知还是隐晦暗示一元二次方程有实数根，则必定包含判别式这一隐含条件，该条件往往是解决很多一元二次方程问题的突破口，甚至能够直接跳过复杂的讨论直接解决某些难题． 判别式与二次函数及不等式的联系 对于二次函数，若其恒大于零，即不等式对任意恒成立， 结合抛物线的图像，其图像必定在轴上方，故其开口必定向上，得，同时其与轴无交点，即方程无解，得． 例如判断代数式的符号，其必为正数，即恒大于0． 可以根据配方法， 也可以计算代数式对应方程的，得到恒大于零． 【典型例题】 1. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是__________． 【名师点拨】根据判别式大于零即可求得k的取值范围，但要特别注意二次项系数不为零． 【答案】且． 【解析】原方程为一元二次方程， ，， 又原方程由两个不等实根， ， 解得， 综上，k的取值范围是且． 1. 已知关于的方程． （1）有两个不相等的实根，求的取值范围； （2）有两个相等的实根，求的值，并求出此时方程的根； （3）有实根，求的最大整数值． 【答案】（1）；（2），；（3）1． 【解析】方程判别式为； （1）方程有两个不等实根，，解得； （2）方程有两个相等实根， ，解得， 此时原方程可化为，解得； （3）方程有实根，， 解得，最大的整数值为1． 1. 若实数，满足，则的值是________． 【名师点拨】对于此类未知数个数大于方程个数的问题，通常方程会有无数组解，但是利用判别式大于等于0的限制，或者代数式的非负性往往能求解得到有限组解． 【答案】1． 【解析】法一：配方法 ，，，故． 法二：判别式法 ，， 故，代回得，故． 1. 满足的所有实数对，求的最小值． 【答案】0． 【解析】原方程可变形为， 令，则，原方程化为， ， ，解得， t的最小值为0，即的最小值0． 1. 设、、、为实数，且．若方程甲：；乙：．则（） A．甲必有实根，乙也必有实根 B．甲没有实根，乙也没有实根 C．甲、乙至少一个有实根 D．甲、乙是否总有一个有实根不能确定 【名师点拨】本题探讨两个方程有无实数根的问题，可以转化成讨论判别式的正负性．虽然有四个未知参数，但可利用已知条件以及“两数相加非负，则至少有一个数非负”的性质反证，从而找到突破口． 【答案】C． 【解析】已知、、、为实数，且， 假设方程甲、乙均没有实数根，则： 方程甲：，， 方程乙：，， ， 与、矛盾．故甲、乙至少一个有实根，答案选C． 1. 如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【名师点拨】已知一元二次方程有两个有理根可得出两个隐含条件，即判别式，且为有理数，从而可以确定参数的取值范围． 【答案】B． 【解析】原方程有两个有理根，则可得： ①， ②为有理数， 为有理数，为正整数时，或1， 解得或，经验证符合题意．故答案选B． 1. 求的最小值并且求此时的值． 【名师点拨】两个二次整式相除的代数式最值问题，用判别式法求解最为方便． 【答案】当时，有最小值4． 【解析】法一：令， 因为，故分母不可能为0，函数的定义域为所有实数， 则． 若，代入方程无解，故；若，要使关于的方程存在实数解， 故，解得． 故有最小值4，将代入得， 故当时，原式有最小值4． 法二：， 要让原式取最大值，分母应取最小值， 即时，有最小值． 模块二：韦达定理 【知识精要】 法国数学家弗朗索瓦·韦达最早在1615年提出了方程中根与系数关系的定理，因此人们将其称为韦达定理．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这层联系，