专题02 一次函数、二次函数与反比例函数综合问题（专项训练）数学新教材北师大版九年级下册

专题02 一次函数、二次函数与反比例函数综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断（重） 题型2 二次函数与反比例函数图象综合判断（重） 题型3 正比例函数与反比例函数的交点问题 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题（高频） 题型5 一次函数与反比例函数的其他综合应用（难） 题型6 一次函数与反比例函数的实际应用（重） 题型7 一次函数、二次函数与反比例函数的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． ◆题型2 二次函数与反比例函数图象综合判断 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C．D． 5．（26-27九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． ◆题型3 正比例函数与反比例函数的交点问题 7．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知直线与双曲线的一个交点为，则另一个交点坐标为______． 8．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，若点的坐标为，则点的坐标为___________ 9．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． ◆题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 10．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为_______． 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． ◆题型5 一次函数与反比例函数的其他综合应用 13．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，已知点，点的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，过点作轴于，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)是否存在一个，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由． 14．（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)已知点P是线段上一个动点（与A、B两点不重合），过P点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点C、D，、与反比例函数图象分别交于点E、F．求的最小值． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． ◆题型6 一次函数与反比例函数的实际应用 16．（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要________； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 17．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 18．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． ◆题型7 一次函数、二次函数与反比例函数的综合问题 19．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； (2)线段的“最优郡值”为，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，若直线与该二次函数的图象的另一个交点为，与反比例函数的图象只有一个交点，判断点纵坐标的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作直线平行于轴，交抛物线于点F，H（点在点左边），当点在直线下方抛物线上运动时，求的最大值． 21．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）我们不妨约定：若一次函数图像上存在点满足反比例函数，则称二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点Р称为“关联点”．例如：一次函数图像上存在点满足反比例函数，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点是“关联点”． (1)判断下列说法是否正确，若正确，在括号内打“√”，若不正确，在括号内打“×”； ①一次函数和反比例函数没有“关联函数”；（     ） ②一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”；（     ） ③一次函数和反比例函数存在“关联函数”；（     ） (2)一次函数与反比例函数存在“关联点”，且其“关联函数”的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4，求a的值； (3)已知一次函数与反比例函数有两个“关联点”A、B（A在B左侧）满足点B的横坐标为1，其“关联函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧）且经过点，若，记四边形的面积为S，求的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 3．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 5．（2026·安徽·三模）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A．B．C．D． 二、填空题 6．（2026·江苏徐州·二模）函数和函数的图象相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是________． 7．（2026·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 8．（2026·陕西安康·模拟预测）在第一象限有一点在直线上，且点到两坐标轴的距离之和为6．将点向上平移2个单位长度后恰好落在双曲线上，则的值为________． 9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 10．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 三、解答题 11．（2025·甘肃陇南·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果，求点D的坐标． 12．（2026·四川南充·一模）如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 13．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点和点（点在点的左侧），且点与点的横坐标之差是4，设点的横坐标为． (1)点的坐标为________，点的坐标为________；（用含有的代数式表示） (2)求反比例函数的关系式； (3)直接写出不等式的解集为________． 14．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 15．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图1，点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、． (1) ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式； (2)直接写出当为何值时，． (3)求的面积： (4)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标． 16．（2026·广东广州·三模）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”． (1)一次函数（）为“拉伸函数”，则k的值为________； (2)反比例函数（，，且）是“拉伸函数”，且，求出的值； (3)已知且时，二次函数是“拉伸函数”，求k的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数、二次函数与反比例函数综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断（重） 题型2 二次函数与反比例函数图象综合判断（重） 题型3 正比例函数与反比例函数的交点问题 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题（高频） 题型5 一次函数与反比例函数的其他综合应用（难） 题型6 一次函数与反比例函数的实际应用（重） 题型7 一次函数、二次函数与反比例函数的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据当和时，和图象的位置逐项判断即可． 【详解】解：∵当时，过一、二、三象限，经过点，过一、三象限； 当时，过一、二、四象限，过二、四象限． ∴选项A：由图象可知，且经过点，但的，不符合条件； 选项B：由的图象可知，不经过点，不符合条件； 选项C：由的图象可知，经过点，的，符合条件； 选项D：由的图象可知，不经过点，不符合条件． 2．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】梳理函数图象与参数的对应关系，分情况讨论k的取值，综合分析确定正确选项． 【详解】解：①当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项的图象符合要求； ②当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，没有符合条件的选项； 综上，只有B选项符合要求． 3．（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当反比例函数图象在一三象限时，，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项A、B错误； C、当反比例函数图象在二四象限时， ，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D选项正确． ◆题型2 二次函数与反比例函数图象综合判断 4．（26-27九年级上·全国·单元测试）反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】分和时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，符合题意的是选项A； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，选项都不符合题意． 5．（26-27九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口朝上确定的符号；抛物线与y轴的正半轴有一个交点可确定的符号；再根据抛物线的对称轴处在y轴的右侧，结合的符号，可以确定的符号，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线开口朝上， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴有一个交点， ∴， 根据抛物线的图象可知，抛物线的对称轴处在y轴的右侧， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵，，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，即D选项符合题意． 6．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图像判断的符号，求出与的正负，再判断正比例函数，反比例函数经过的象限，筛选选项． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，，， ， ． 当时，，即， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限． ◆题型3 正比例函数与反比例函数的交点问题 7．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知直线与双曲线的一个交点为，则另一个交点坐标为______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质得到它们的交点关于原点中心对称，据此求解即可． 【详解】解：直线是过原点的正比例函数，双曲线是反比例函数，两个函数的图象都关于原点中心对称， 它们的交点也关于原点中心对称， 已知一个交点为，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数， 另一个交点为． 8．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，若点的坐标为，则点的坐标为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题的知识点，注意反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．根据点的坐标为，可得，即可求解. 【详解】解：根据反比例函数与正比例函数的交点关于中心对称， ∵点的坐标为， ∴， ∴反比例函数在第一、三象限， ∴点的坐标为， 故答案为：. 9．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． ◆题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 10．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为_______． 【答案】或 【详解】解：如图， 当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足； 因此，时，的取值范围为或． 11．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，已知一个交点为，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【分析】先将分别代入和，求得，，联立两个函数解析式解得另一交点，然后结合图象求解． 【详解】解：将代入得， ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴ 联立得， 解得或 将代入 ∴ 由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集为或． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． ◆题型5 一次函数与反比例函数的其他综合应用 13．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，已知点，点的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，过点作轴于，交反比例函数的图象于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)是否存在一个，使得，若存在，求出的值，不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)存在， 【分析】（1）求出点坐标后代入反比例函数解析式求出，回代即可； （2）根据点的横坐标为，表示出点、坐标，根据得出，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵点的横坐标为，且在正比例函数的图象上，过点作轴于，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，解得， ∵， ∴存在，． 14．（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)已知点P是线段上一个动点（与A、B两点不重合），过P点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点C、D，、与反比例函数图象分别交于点E、F．求的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）将点代入得，将点代入得，联立两个函数的解析式：，解得，将代入得，故点B的坐标为； （2）设点P的横坐标为t，由P在直线上可得点P的坐标为，其中，则，，，，故，对于二次函数，开口向下，对称轴为，当时，，故的分母最大为4，因此的最小值为1． 【详解】（1）解：将点代入得， 反比例函数解析式为， 将点代入得， ， 直线解析式为， 联立两个函数的解析式：，即， 解得， 已知点A的横坐标为，将代入得， 点B的坐标为； （2）解：设点P的横坐标为t，由P在直线上可得点P的坐标为，其中，则点C的坐标为，点D的坐标为， 由题意可得，点E的横坐标为t，代入的点E的坐标为， 点F的纵坐标为，代入的点F的坐标为， ，， ， 对于二次函数，开口向下，对称轴为， 当时，取最大值4， 的分母最大为4， 的最小值为． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为， 直线的解析式为，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． ◆题型6 一次函数与反比例函数的实际应用 16．（2026·贵州安顺·二模）图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要________； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 【详解】（1）解：升温总温差：， 用时：； （2）由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； （3）在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 17．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【答案】(1)线段的解析式为；反比例函数为 (2)18 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【详解】（1）解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． （2）解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． 18．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段 与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车上班？请说明理由． 【答案】(1)双曲线的函数表达式为； (2)第二天早上能驾车上班，理由， 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时， 由得双曲线的函数表达式为， 当时，， ∵，即血液中的酒精含量小于国家规定的“酒后驾驶”标准， ∴第二天早上能驾车上班． 【分析】首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时，当时，，然后比较进行判断即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，由图象可知直线过， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设双曲线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴双曲线的函数表达式为； （2）略． ◆题型7 一次函数、二次函数与反比例函数的综合问题 19．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； (2)线段的“最优郡值”为，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【详解】（1）解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． （2）解：线段， ， 的“最优郡值”为， 需要分和两种情况讨论， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则，解得，经检验符合； 当，即时，随增大而增大， 要取得最大值，则，解得，经检验符合， 综上所述，或． （3）解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 当对称轴时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 20．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，若直线与该二次函数的图象的另一个交点为，与反比例函数的图象只有一个交点，判断点纵坐标的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作直线平行于轴，交抛物线于点F，H（点在点左边），当点在直线下方抛物线上运动时，求的最大值． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． （1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）直线过点，求出直线，令，整理得，根据，求出．把代入直线解析式得，进而得出结论； （3）连接，令，求出，进而求出直线的解析式为，直线的解析式为，令，求出点的横坐标，即可求出，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 把点带入解析式，得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：点纵坐标的值为定值．理由如下： 直线过点， ，即直线． 直线与反比例函数的图象只有一个交点， 令，整理得， ， 方程的解为． 把代入直线解析式得， 点的坐标为，即点纵坐标的值为定值； （3）解：如图，连接． 令，解得， ． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 同理，直线的解析式为， ． 令，解得（舍）， 点的横坐标． 点的横坐标， ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 21．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）我们不妨约定：若一次函数图像上存在点满足反比例函数，则称二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点Р称为“关联点”．例如：一次函数图像上存在点满足反比例函数，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“关联函数”，点是“关联点”． (1)判断下列说法是否正确，若正确，在括号内打“√”，若不正确，在括号内打“×”； ①一次函数和反比例函数没有“关联函数”；（     ） ②一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”；（     ） ③一次函数和反比例函数存在“关联函数”；（     ） (2)一次函数与反比例函数存在“关联点”，且其“关联函数”的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4，求a的值； (3)已知一次函数与反比例函数有两个“关联点”A、B（A在B左侧）满足点B的横坐标为1，其“关联函数”与x轴交于C、D两点（C在D左侧）且经过点，若，记四边形的面积为S，求的取值范围． 【答案】(1)①√；②√；③× (2)或 (3)的取值范围为 【分析】（1）根据定义，“关联点”就是联立一次函数与反比例函数的公共解，联立消去y得到一元二次方程，用判别式判断有没有实数根，有实根就存在关联点、关联函数，无根则不存在；①联立，整理方程得到，无交点；②联立，方程有两个相等实根，只有1个关联点；③联立，得到的关联函数应该是，不是； （2）先用关联点代入一次函数、反比例函数，求出，，写出关联函数，“抛物线上只有3个点到x轴距离为4”结合开口向上得到顶点纵坐标只能等于（顶点是唯一的一个取到的点，有两个不同交点，一共3个点），代入顶点纵坐标公式列方程求解，得到或； （3）点B横坐标是1（关联点），说明是的根，得到，再利用关联函数过，联立得到，，结合条件解不等式，得到，由韦达定理得到A点横坐标，算出A、B纵坐标，四边形拆成和，同底，面积，把S用a表示，化简，令转化为关于t的二次函数，结合t的范围，根据单调性求出的范围即可． 【详解】（1）解：①令， 两边同时乘得，即， ， 方程无解， 一次函数和反比例函数没有交点， 一次函数和反比例函数没有“关联函数”； ②令， 两边同时乘得，即， ， 当时，， 一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”，为； ③令， 两边同时乘得，即， ， 方程有解， 一次函数和反比例函数存在“关联函数”，故③说法错误； （2）解：一次函数与反比例函数存在“关联点”， ， ，， 一次函数与反比例函数的“关联函数”为， 的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4， 当时，， 整理得， 两边同时乘得， 化简得，即， 因式分解得， 解得或； （3）解：一次函数与反比例函数的“关联点”B的横坐标为1， ，即， 其“关联函数”经过点， ， ，即， ， ， ， ，解得， 设，，则，， ， 由韦达定理得， ， ， ， ， 令，则，， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，；当时，， 的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（     ） A．两图象的交点的坐标为 B．若，则的取值范围是或 C．一次函数与反比例函数都随的增大而增大 D．连接，，则的面积是 【答案】C 【分析】由题意易得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，然后根据一次函数及反比例函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由题意可把代入一次函数得：，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在一次函数上， ∴， ∴点的坐标为，故A正确； 由图象可知：若，则的取值范围是或，故B正确； ∵， ∴一次函数随的增大而增大，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小，故C错误； 由一次函数可知：其函数图象与轴的交点坐标为， ∴，故D正确． 3．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．给出下列结论： ①两函数图象的交点的坐标为； ②当时，； ③； ④当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小． 其中，正确的是（   ）． A．①② B．② C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据题意可以求得两函数图象的交点A的坐标，从而可以判断①；根据点A的坐标可以判断②；根据点B的横坐标可以分别求出点B、C的坐标，从而可以得到的值，从而可以判断③；根据函数图象可以判断④． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 将代入，得， ∴两函数图象的交点A的坐标为，故①正确； 由图象可知，当时，，故②错误； 将代入得，， 将代入得，， ∴，故③正确； 由图象可知，当逐渐增大时，随的增大而增大，随的增大而减小，故④正确； 故选：D． 5．（2026·安徽·三模）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 二、填空题 6．（2026·江苏徐州·二模）函数和函数的图象相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是________． 【答案】 【分析】两个函数的图象均关于原点中心对称，则两交点关于原点中心对称，再利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， 两函数图象的交点、关于原点中心对称， 关于原点中心对称的点的横、纵坐标互为相反数，点的坐标为， 点的坐标为． 7．（2026·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 【答案】/ 【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，则， ． 8．（2026·陕西安康·模拟预测）在第一象限有一点在直线上，且点到两坐标轴的距离之和为6．将点向上平移2个单位长度后恰好落在双曲线上，则的值为________． 【答案】7 【分析】设，根据点到两坐标轴的距离之和为6，列出方程求出的值，进而求出点坐标，再求出平移后点的坐标，代入函数解析式，即可得出结果． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设， ∵点在第一象限且点到两坐标轴的距离之和为6， ∴， ∴， ∴， ∵点向上平移2个单位长度后的坐标为，即， ∴． 9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 10．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 三、解答题 11．（2025·甘肃陇南·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)如果，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据点A在上，且横坐标为2，求出点，再代入即可求解． （2）根据题意求出点，在中，求出，设，表示出，，在中，根据，列出方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：点A在上，且横坐标为2， ， 把代入得， ， 反比例函数的表达式为； （2）轴，且， 点的横坐标为4， 在中，令，则， 在中，， ． 点在直线上，设， ， 在中，， 即，整理得， 解得：（舍去，不符合题意），， ， 点的坐标为． 12．（2026·四川南充·一模）如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，根据题意可得，，则，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把点B的坐标代入得， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴，即轴，且点D在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 13．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点和点（点在点的左侧），且点与点的横坐标之差是4，设点的横坐标为． (1)点的坐标为________，点的坐标为________；（用含有的代数式表示） (2)求反比例函数的关系式； (3)直接写出不等式的解集为________． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）点的横坐标为，则纵坐标为，求得点的横坐标为，则纵坐标为，据此求解即可； （2）由题意得，据此求解即可； （3）求得点的坐标为，点的坐标为，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点的横坐标之差是4， ∴点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （3）解：由（2）得点的坐标为，点的坐标为， ∴不等式的解集为． 14．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量在人体血液中的变化情况，在最初30分钟含量会直线上升，然后在30分钟至200分钟间稳定在饱和状态，人体血液中含量恒为100个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y个计量单位与时间x分钟之间大致符合函数（，k为常数）． (1)求k的值； (2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1小时）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出上升段的表达式，然后把代入求出时间，再把代入（1）中的函数表达式求出时间，即可求出时间差． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：设上升段的表达式为，代入可得，， 解得， ∴上升段的表达式为， 当时，则； 由（1）得下降过程中的函数， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴ 答：隔5小时需服用第二次． 15．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图1，点是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点．已知直线交坐标轴于点、，连接、． (1) ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式； (2)直接写出当为何值时，． (3)求的面积： (4)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点，若，求出点的坐标． 【答案】(1)1；； (2) (3) (4)的坐标为或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式即可求出，再把点的坐标代入函数解析式即可求出，根据待定系数法求出直线的解析式； （2）根据函数图象即可解答； （3）先得点的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （4）设点的坐标为，用含的式子表示出，然后利用建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：将的坐标代入，得． 反比例函数的解析式为． 将的坐标代入，得． 把和代入，得：， 解得：， 故直线的解析式为：， （2）解：由（1）知和， 结合图象可得，当时，． （3）解：令，，令，， ， ． （4）解：设点的坐标为，则点F的坐标为， ． ，， ， 整理得：． 解得：， 的坐标为或． 16．（2026·广东广州·三模）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”． (1)一次函数（）为“拉伸函数”，则k的值为________； (2)反比例函数（，，且）是“拉伸函数”，且，求出的值； (3)已知且时，二次函数是“拉伸函数”，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一次函数单调性求出的取值范围，根据新定义计算的值； （2） 先根据反比例函数单调性结合定义推出，再利用完全平方公式计算； （3） 二次函数开口向下，对称轴，结合给定范围，分情况讨论求函数最值，得到关于的表达式，进而求出的取值范围. 【详解】（1）解：，，随增大而增大， 当时，取最小值，当时，取最大值， ∵， ∴，解得； （2）解：∵（，，且）， ∴反比例函数的图象在第一象限，且随的增大而减小， ∵，且 ∴当时，函数值最大，为，当时，函数值最小为， ∵反比例函数（，，且）是“拉伸函数”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵，， ∴， 由定义得，其中是函数最大值，是函数最小值， 函数最大值在顶点处取得，， 分两种情况讨论： 当时，最小值在处取得， ， ， ， 时随增大而减小， ； 当，最小值在处取得，， ， ​， 当时随增大而增大， ∴； 综上：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数、二次函数与反比例函数综合问题 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断（重） 题型2 二次函数与反比例函数图象综合判断（重） 题型3 正比例函数与反比例函数的交点问题 题型4 一次函数与反比例函数的交点问题（高频） 题型5 一次函数与反比例函数的其他综合应用（难） 题型6 一次函数与反比例函数的实际应用（重） 题型7 一次函数、二次函数与反比例函数的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．C 2．B 3．D ◆题型2 二次函数与反比例函数图象综合判断 4．A 5．D 6．A ◆题型3 正比例函数与反比例函数的交点问题 7． 8． 9． ◆题型4 一次函数与反比例函数的交点问题 10．或 11．或 12． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． ◆题型5 一次函数与反比例函数的其他综合应用 13． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)存在， 【分析】（1）求出点坐标后代入反比例函数解析式求出，回代即可； （2）根据点的横坐标为，表示出点、坐标，根据得出，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵点的横坐标为，且在正比例函数的图象上，过点作轴于，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，解得， ∵， ∴存在，． 14． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）将点代入得，将点代入得，联立两个函数的解析式：，解得，将代入得，故点B的坐标为； （2）设点P的横坐标为t，由P在直线上可得点P的坐标为，其中，则，，，，故，对于二次函数，开口向下，对称轴为，当时，，故的分母最大为4，因此的最小值为1． 【详解】（1）解：将点代入得， 反比例函数解析式为， 将点代入得， ， 直线解析式为， 联立两个函数的解析式：，即， 解得， 已知点A的横坐标为，将代入得， 点B的坐标为； （2）解：设点P的横坐标为t，由P在直线上可得点P的坐标为，其中，则点C的坐标为，点D的坐标为， 由题意可得，点E的横坐标为t，代入的点E的坐标为， 点F的纵坐标为，代入的点F的坐标为， ，， ， 对于二次函数，开口向下，对称轴为， 当时，取最大值4， 的分母最大为4， 的最小值为． 15． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为， 直线的解析式为，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． ◆题型6 一次函数与反比例函数的实际应用 16． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至时间； （2）由（1）得当时，，因为降温过程为反比例函数，所以将代入中，求出，最后写出解析式； （3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于时对应的起止时间，整理得，最后求总时长． 【详解】（1）解：升温总温差：， 用时：； （2）由（1）得停止加热点坐标为， ∵降温时，水温是通电时间的反比例函数， ∴设降温过程中，即时，水温关于通电时间的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为； （3）在升温段，即时， ∵水温从升到时所用时间为， ∴当时，水温不低于， 在降温段，即时， ∵当时，， ∴当时，水温不低于， 综上所述：当时，水温不低于， ∴水温不低于的时长为． 17． 【答案】(1)线段的解析式为；反比例函数为 (2)18 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【详解】（1）解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． （2）解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． 18． 【答案】(1)双曲线的函数表达式为； (2)第二天早上能驾车上班，理由， 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时， 由得双曲线的函数表达式为， 当时，， ∵，即血液中的酒精含量小于国家规定的“酒后驾驶”标准， ∴第二天早上能驾车上班． 【分析】首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； 从晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上，时间间距为小时，当时，，然后比较进行判断即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，由图象可知直线过， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设双曲线的函数表达式为， 将点，代入得， 解得， ∴双曲线的函数表达式为； （2）略． ◆题型7 一次函数、二次函数与反比例函数的综合问题 19． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【详解】（1）解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． （2）解：线段， ， 的“最优郡值”为， 需要分和两种情况讨论， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则，解得，经检验符合； 当，即时，随增大而增大， 要取得最大值，则，解得，经检验符合， 综上所述，或． （3）解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 当对称轴时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 20． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． （1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）直线过点，求出直线，令，整理得，根据，求出．把代入直线解析式得，进而得出结论； （3）连接，令，求出，进而求出直线的解析式为，直线的解析式为，令，求出点的横坐标，即可求出，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 把点带入解析式，得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：点纵坐标的值为定值．理由如下： 直线过点， ，即直线． 直线与反比例函数的图象只有一个交点， 令，整理得， ， 方程的解为． 把代入直线解析式得， 点的坐标为，即点纵坐标的值为定值； （3）解：如图，连接． 令，解得， ． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 同理，直线的解析式为， ． 令，解得（舍）， 点的横坐标． 点的横坐标， ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 21． 【答案】(1)①√；②√；③× (2)或 (3)的取值范围为 【分析】（1）根据定义，“关联点”就是联立一次函数与反比例函数的公共解，联立消去y得到一元二次方程，用判别式判断有没有实数根，有实根就存在关联点、关联函数，无根则不存在；①联立，整理方程得到，无交点；②联立，方程有两个相等实根，只有1个关联点；③联立，得到的关联函数应该是，不是； （2）先用关联点代入一次函数、反比例函数，求出，，写出关联函数，“抛物线上只有3个点到x轴距离为4”结合开口向上得到顶点纵坐标只能等于（顶点是唯一的一个取到的点，有两个不同交点，一共3个点），代入顶点纵坐标公式列方程求解，得到或； （3）点B横坐标是1（关联点），说明是的根，得到，再利用关联函数过，联立得到，，结合条件解不等式，得到，由韦达定理得到A点横坐标，算出A、B纵坐标，四边形拆成和，同底，面积，把S用a表示，化简，令转化为关于t的二次函数，结合t的范围，根据单调性求出的范围即可． 【详解】（1）解：①令， 两边同时乘得，即， ， 方程无解， 一次函数和反比例函数没有交点， 一次函数和反比例函数没有“关联函数”； ②令， 两边同时乘得，即， ， 当时，， 一次函数和反比例函数有且只有一个“关联点”，为； ③令， 两边同时乘得，即， ， 方程有解， 一次函数和反比例函数存在“关联函数”，故③说法错误； （2）解：一次函数与反比例函数存在“关联点”， ， ，， 一次函数与反比例函数的“关联函数”为， 的图像上有且只有3个点到x轴的距离为4， 当时，， 整理得， 两边同时乘得， 化简得，即， 因式分解得， 解得或； （3）解：一次函数与反比例函数的“关联点”B的横坐标为1， ，即， 其“关联函数”经过点， ， ，即， ， ， ， ，解得， 设，，则，， ， 由韦达定理得， ， ， ， ， 令，则，， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，；当时，， 的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．C 3．D 4．D 5．C 二、填空题 6． 7．/ 8．7 9． 10． 三、解答题 11． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据点A在上，且横坐标为2，求出点，再代入即可求解． （2）根据题意求出点，在中，求出，设，表示出，，在中，根据，列出方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：点A在上，且横坐标为2， ， 把代入得， ， 反比例函数的表达式为； （2）轴，且， 点的横坐标为4， 在中，令，则， 在中，， ． 点在直线上，设， ， 在中，， 即，整理得， 解得：（舍去，不符合题意），， ， 点的坐标为． 12． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，根据题意可得，，则，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把点B的坐标代入得， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴，即轴，且点D在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 13． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）点的横坐标为，则纵坐标为，求得点的横坐标为，则纵坐标为，据此求解即可； （2）由题意得，据此求解即可； （3）求得点的坐标为，点的坐标为，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点的横坐标之差是4， ∴点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （3）解：由（2）得点的坐标为，点的坐标为， ∴不等式的解集为． 14． 【答案】(1) (2)这种抗过敏药物约隔5小时需服用一次 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出上升段的表达式，然后把代入求出时间，再把代入（1）中的函数表达式求出时间，即可求出时间差． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：设上升段的表达式为，代入可得，， 解得， ∴上升段的表达式为， 当时，则； 由（1）得下降过程中的函数， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴ 答：隔5小时需服用第二次． 15． 【答案】(1)1；； (2) (3) (4)的坐标为或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式即可求出，再把点的坐标代入函数解析式即可求出，根据待定系数法求出直线的解析式； （2）根据函数图象即可解答； （3）先得点的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （4）设点的坐标为，用含的式子表示出，然后利用建立关于的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：将的坐标代入，得． 反比例函数的解析式为． 将的坐标代入，得． 把和代入，得：， 解得：， 故直线的解析式为：， （2）解：由（1）知和， 结合图象可得，当时，． （3）解：令，，令，， ， ． （4）解：设点的坐标为，则点F的坐标为， ． ，， ， 整理得：． 解得：， 的坐标为或． 16． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一次函数单调性求出的取值范围，根据新定义计算的值； （2） 先根据反比例函数单调性结合定义推出，再利用完全平方公式计算； （3） 二次函数开口向下，对称轴，结合给定范围，分情况讨论求函数最值，得到关于的表达式，进而求出的取值范围. 【详解】（1）解：，，随增大而增大， 当时，取最小值，当时，取最大值， ∵， ∴，解得； （2）解：∵（，，且）， ∴反比例函数的图象在第一象限，且随的增大而减小， ∵，且 ∴当时，函数值最大，为，当时，函数值最小为， ∵反比例函数（，，且）是“拉伸函数”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵，， ∴， 由定义得，其中是函数最大值，是函数最小值， 函数最大值在顶点处取得，， 分两种情况讨论： 当时，最小值在处取得， ， ， ， 时随增大而减小， ； 当，最小值在处取得，， ， ​， 当时随增大而增大， ∴； 综上：. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $