专题8.3 双曲线综合【九大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题8.3 双曲线综合【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 双曲线的定义及应用】 3 【题型2 双曲线的标准方程的求解】 3 【题型3 双曲线中的焦点三角形问题】 4 【题型4 求双曲线的离心率或其取值范围】 5 【题型5 双曲线中的最值问题】 5 【题型6 双曲线的弦长、焦点弦问题】 6 【题型7 双曲线的“中点弦”问题】 7 【题型8 双曲线中三角形（四边形）的面积问题】 8 【题型9 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 9 1、双曲线综合 圆锥曲线是高考的热点内容，双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程、性质以及直线与双曲线的位置关系等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等，解答题中难度偏大，需要学会灵活求解. 【知识点1 双曲线方程的求解方法】 1．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. (3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为. 【知识点2 双曲线的焦点三角形的相关结论】 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为. 【知识点3 双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式) 求解. 【知识点4 双曲线中的最值问题的解题策略】 1．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【知识点5 双曲线的弦长与“中点弦问题”】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 【题型1 双曲线的定义及应用】 【例1】（2023·四川达州·二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【变式1-1】（2023·江西吉安·一模）已知A为双曲线的左顶点,为C的右焦点,过点A的直线与圆相切,且直线交C于点B,设,则为(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 双曲线的标准方程的求解】 【例2】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D．