专题8.2 椭圆综合【九大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题8.2 椭圆综合【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 椭圆的定义及其应用】 3 【题型2 椭圆的标准方程的求解】 4 【题型3 椭圆中的焦点三角形问题】 4 【题型4 椭圆的离心率或其取值范围问题】 5 【题型5 椭圆中的最值问题】 6 【题型6 椭圆的弦长问题】 6 【题型7 椭圆的“中点弦”问题】 7 【题型8 椭圆中的面积问题】 8 【题型9 椭圆中的定点、定值、定直线问题】 9 1、椭圆综合 圆锥曲线是高考的热点内容，椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的概念、性质以及直线与椭圆的位置关系等知识，选择、填空、解答题都会出现；与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，难度较大，需要学会灵活求解. 【知识点1 椭圆方程的求解方法】 1．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【知识点2 椭圆的焦点三角形】 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【知识点3 椭圆离心率或其范围的解题策略】 1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【知识点4 椭圆的弦长与“中点弦问题”】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【知识点5 椭圆中的最值问题的解题策略】 1．椭圆中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型1 椭圆的定义及其应用】 【例1】（2023·江西九江·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式1-1】（2023·内蒙古包头·一模）已知是椭圆的两个焦点，点M、N在C上，若，则的最大值为（    ） A．9 B．20 C．25 D．30 【变式1-2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若（为坐标原点），则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·江西上饶·模拟预测）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴