专题8.1 直线与圆综合【八大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题8.1 直线与圆综合【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 直线方程、倾斜角与斜率的求解】 3 【题型2 直线的平行与垂直问题】 4 【题型3 圆的方程的求解】 5 【题型4 圆的切线长与切线方程问题】 5 【题型5 圆的弦长与中点弦问题】 5 【题型6 直线与圆有关的最值问题】 6 【题型7 两圆的公共弦问题】 7 【题型8 两圆的公切线长、公切线方程或条数问题】 7 1、直线与圆综合 直线与圆是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，直线的方程、点到直线的距离公式、圆的方程等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等，多以选择题或填空题的形式考查；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解. 【知识点1 平行和垂直的直线的设法】 1.平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Ax+By+m=0. 2.垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 【知识点3 直线与圆相交时的弦长求法】 1.圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【知识点4 圆的切线及切线方程问题】 1.自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2.求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识点5 两圆的公切线问题】 1.两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. 2.两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. 3.求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型1 直线方程、倾斜角与斜率的求解】 【例1】（2023·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·山西太原·模拟预测）已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】（2023·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线的平行与垂直问题】 【例2】（2023·安徽蚌埠·三模）已知直线：，：，则条件“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件 【变式2-1】（2023·上海松江·二模）已知直线与直线