重难点13 圆锥曲线常考经典小题全归类【十二大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

重难点13 圆锥曲线常考经典小题全归类【十二大题型】 【新高考专用】 【题型1 圆锥曲线的定义及应用】 3 【题型2 圆锥曲线的标准方程的求解】 4 【题型3 椭圆、双曲线的离心率或其取值范围问题】 5 【题型4 焦半径问题】 5 【题型5 焦点三角形问题】 6 【题型6 圆锥曲线中的最值问题】 6 【题型7 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线】 6 【题型8 阿基米德三角形】 8 【题型9 蒙日圆】 9 【题型10 切线问题】 10 【题型11 定比点差法与点差法】 10 【题型12 圆锥曲线的光学性质问题】 11 圆锥曲线是高考的热点内容，其中圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容.从近几年的高考情况来看，在选择、填空题中的考查主要有三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题；难度中等. 通过对圆锥曲线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、逻辑推理与数学运算等核心素养． 【知识点1 圆锥曲线的定义及应用】 1.利用圆锥曲线的定义求轨迹方程 在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹 曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制． 2.圆锥曲线定义的应用 (1)圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等． (2)应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求；在双曲线的定义中，要求；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线． 【知识点2 圆锥曲线的几何性质的研究】 1.解析法研究圆锥曲线的几何性质： 用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等． 【知识点3 圆锥曲线的标准方程的求解方法】 1.椭圆标准方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 2.双曲线标准方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. (3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为. 3.抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【知识点4 椭圆、双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】 1.求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 2.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式) 求解. 【知识点5 圆锥曲线中的最值问题的解题策略】 1.椭圆中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立