7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念 1 我们都知道，自然数的出现是为了满足计数的需要，但是仅有自然数是不够用的，为了满足生活和生产实践的需要，数系得到了扩充： 自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负数，扩充到整数系； 整数系中不能解决测量中的一些等分问题，于是引入了分数，扩充到有理数系； 有理数系中无法解决边长为1的正方形对角线的度量问题，于是引入了无理数，扩充到实数系. N Z Q R 引入负整数 引入分数 引入无理数 而上述这些实际问题，从数学发展本身来看，也是为了满足数学运算的需要： （1）在自然数集 内，方程 无解,引入负整数后，在整数集 内便有解 ； （2）在整数集 内，方程 无解,引入分数后，在有理数集 内便有解 ； （3）在有理数集 内，方程 无解,引入无理数后，在实数集 内便有解 和 . 上述数系的扩充过程，可以运用韦恩图表示如下： 问题1 可以看出，数集的每一次扩充，都是在原有数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要研究运算，如果没有运算，数只是一个个孤立的符号.原有数集中的运算及运算律在扩充后的数集中依然成立吗？ 从自然数集扩充到整数集时，原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中依然成立； 从整数集到有理数集中也是如此，而此时，除以一个数可以看做是乘以一个数的倒数； 从有理数集到实数集的过程中，也依然满足原有的运算和运算律. 如： 加法交换律， 乘法交换律， 加法结合律， 乘法结合律， 乘法对加法的分配律. 可以看到加法和乘法运算是上述数集中的基本运算，而对于减法、除法可以转化为前两种运算.同时，运算律也依然适用扩充后的数集. 追问2 新的问题出现了！现在，你能类比前面解决问题的经验，想到解决这个问题的办法吗？ 引入新的数，再对实数集进行扩充. ， ， . 追问1 你能举出一下例子吗？ 问题2 数集经过三次扩充，已经扩充到实数集，是不是所有方程都有解了呢？ 我们熟悉的一元二次方程当中，就有一些方程在实数集内无解. 问题3 一元二次方程 中： 当 时，有求根公式 ； 当 时，没有实数根. 请大家想一想：如果要使方程有解需要解决什么问题？ 就是要解决负数怎么开平方的问题. 问题4：从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 是否有解，也就是 是否有解的问题，思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程 是否有解的问题呢？ 将方程 两边同除以 ， 可得 ，即 ． 令 ，则 可以转化为 ． 因此， 有没有解，就可以归结为 有没有解． 于是，解决负数开方问题的关键就是解决 开方的问题．引入一个什么样的数呢？使它是 的解，换句话说：它的平方为 ． 1．虚数单位的引入 引入一个新数 ，叫作虚数单位，并规定： （1） ； （2）实数可以与 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立． 是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary（想象的，假想的）一词的词头． ． 问题5 请你想想： 是方程 的解，那么方程 还有别的解吗？ 因为 ，所以 也是方程 的解. 问题6 把数 添加到实数集中后，我们希望数 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望依然满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？ 类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，如 ， 等，以及实数系中新数的形式，将实数与 进行加法和乘法运算.例如： 把实数 与新引入的数 相加可以得到 ； 把实数 与新引入的数 相乘可以得到 ； 把实数 与实数 和 相乘的结果相加可以得到 ． 问题7 你能写出一个形式，把刚才的举例中的数都包含在内，并说明理由吗？ 把实数 与新引入的数 相加可以得到 ； 把实数 与新引入的数 相乘可以得到 ； 实数 ，新引入的数 ，与新产生的运算结果 ， . 问题7 你能写出一个形式，把刚才的举例中的数都包含在内，并说明理由吗？ 先来看看这些数的加法运算结果： 再来看看这些数的乘法运算结果： 所有运算结果都可以写成 的形式，其中 ， ， ． 2.复数的定义 我们把形如 的数称为复数，其中 叫做虚数单位.全体复数构成的集合 叫做复数集.这样，方程 在复数集 中就有解 了. 复数通常用字母 表示,即 EMBED Equation.DSMT4 .以后不做特殊说明时， EMBED Equation.DSMT4 都有 ，其中的 叫做复数的实部， 叫做复数的虚部. 3．复数相等 在复数集 中任取两个数 ，我们规定： 相等当且仅当 且 ． 概念辨析1 写出下列复数的实部与虚部，你能给下列复数分分类吗？ （1） ； （2） ； (3) ; (4) ； （5） ； （6） ；