7.1.1 数系的扩充和复数的概念同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 一、单选题 1. 已知 为虚数单位， ，集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 设 ，其中 为实数，则( ) A. B. C. D. 3. 以 的虚部为实部，以 的实部为虚部的新复数是( ) A. B. C. D. 4. 若复数 ( 为虚数单位)是实数，则实数 的值为( ) A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 5. 已知 . 若 ，则 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 不存在 6. 设为虚数单位， ，“复数 不是纯虚数“是”函 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 复数 为实数的充要条件是( ) A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若 ，则 的充要条件是 ； ② 若 且 ，则 ； ③若 ，则 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 对于复数 ，下列结论错误的是( ) A. 若 ，则 为纯虚数 B. 若 ，则 C. 若 ，则 为实数 D. 10. 已知伪虚数单位，下列命题中正确的是( ) A. 若 ,则 的充要条件是 B. 是纯虚数 C. 若 ,则 D. 当 时，复数 是纯虚数 11. 已知复数 ，则下列结论正确的是( ) A. 若 ，则 的实部为 25 B. 若 ，则 的虚部为 -5i C. 若 为实数，则 D. 若 为纯虚数，则 三、填空题 12. 若复数 ，则实数 的值为_____. 13. " 且 " 是 "复数 是纯虚数" 的_____条件. 14. 已知复数 ， ，若 ，则 的取值范围为_____； 四、解答题 15. 已知复数 ( 为虚数单位)，求适合下列条件的实数 的值； (1)z为实数； (2)z为虚数； (3)z为纯虚数. 16. 对任意复数 ，定义 . (1)若 ，求复数 ； (2)若 中的 为常数，则令 ，对任意 ，是否一定有常数 使得 ？ 若存在，则 是否唯一？请说明理由. 17. 已知复数 ，其中 是虚数单位， . (1)若 为纯虚数，求 的值； (2)若 ，求 的取值范围. 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 标准答案 一、单选题 1. 答案：C 解析：集合、中的复数相等，则实部、虚部分别相等，列方程组： ，将第一个方程代入第二个：，解得，则。 因此交集元素为，选C。 2. 答案：A 解析：展开左边：，根据复数相等列方程： ，解得，，选A。 3. 答案：A 解析：①的虚部为（新复数实部）； ②，故，其实部为（新复数虚部）； 因此新复数为，选A。 4. 答案：B 解析：复数为实数的充要条件是虚部为0，即，解得，选B。 5. 答案：C 解析：因为 ， 所以 ，解得 或 。 选C 6. 答案：A 解析：， 不是纯虚数，则 ，所以 ，即 ， 所以 是 的充分而不必要条件。选A 7. 答案：A 解析：复数为实数的充要条件是虚部为0，即； 当时，，则； 当时，，则恒成立； 综上，，选A。 8. 答案：A 解析：逐一分析： ① 若，不满足复数相等的“实虚部分别相等”前提（要求），错误； ② 复数不能比较大小（除非均为实数），和是虚数，错误； ③ 若，则，但，错误； 正确个数为0，选A。 二、多选题 9. 答案：AB 解析：逐一分析： A. 若且时，为纯虚数，仅不充分，错误； B. 若，则，，错误； C. 若，则，为实数，正确； D. ，复数基本性质，正确； 故选AB。 10. 答案：BD 解析：逐一分析： A. 同单选题8①，不满足复数相等前提，错误； B. ，故实部为0，虚部不为0，是纯虚数，正确； C. 若，则，但，错误； D. 当时，实部，虚部，是纯虚数，正确； 故选BD。 11. 答案：AC 解析：若 ，则 的实部为 25，虚部为 -5，A 正确，B 错误。 若 为实数，则 ，得 ，C 正确。 若 为纯虚数，则 ，得 ，D 错误。 选：AC。 三、填空题 12. 答案：3 解析：复数能与0比较大小，故为实数且，列条件： ，解得（时，舍去）。 13. 答案：充分不必要 解析：① 充分性：且时，，是纯虚数，充分性成立； ② 必要性：是纯虚数，则且，不一定，必要性不成立； 故为充分不必要条件。 14. 答案： 解析：由 得： 解得 ，而 ， 当 时，；当 时，， 综上， 的取值范围为 。 故答案为： 四、解答题 15. 解： (1) z为实数：虚部为0，即； (2) z为虚数：虚部不为0，即； (3) z为纯虚数：实部为0且虚部不为0，即。 16. 解： (1) 由，得，根据复数相等： ，由得，则； 又，故，； 且； 因此复数。 (2)存在常数m，且m不唯一，理由如下： 令，则； ，若，则： ，解得； 因此存在常数（如等），且不唯一。 17. 解: (1) 为纯虚数：实部为0且虚部不为0，列条件： ，解得（时虚部为0，舍去），即； (2)由，实部、虚部分别相等，列方程组： ，由第二个方程得； 代入第一个方程：； 令，则，，二次函数开口向上，对称轴； 当时，； 当时，； 因此的取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $