第18章 专题训练(九) 与正方形有关的四个常考模型-【四清导航•河南专版】2022-2023学年八年级数学下册作业课件（人教版)

专题训练(九)　与正方形有关的四个常考模型 数学 八年级下册 全国版 四清导航 模型一　正方形中相交垂线段问题 1．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G. (1)BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由； (2)若将题干中的“DE＝CF”改为“∠BGF＝90°”，则AE与DF的数量关系是_________． AE＝DF 2 解：(1)BE＝AF，BE⊥AF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°.又∵DE＝CF，∴AD－DE＝DC－CF，∴AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF＋∠BAG＝90°，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴BE⊥AF 3 2．(模型运用)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． (1)如图①，当点E自点D向点C，点F自点C向点B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由； (2)如图②和图③，当点E，F分别在边DC，CB的延长线及反向延长线上移动时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？无需证明． 4 解：(1)AE＝DF，AE⊥DF；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°，∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°，∴∠APD＝90°，∴AE⊥DF (2)成立 5 6 7 【模型归纳】　(1)△ABC是等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，连接OC，则△DOC≌△EOB，△ADO≌△CEO； 8 (2)在正方形ABCD中，O为对角线的交点，直角∠EOF绕点O顺时针旋转，若OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AGO≌△BHO，△OGH是等腰直角三角形． 9 模型三　正方形中的“外角平分线”模型 4．(教材P69习题T14变式)已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F. (1)如图①，求证：AE＝EF； (2)如图②，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出CF的长． 10 11 模型四　正方形中的半角模型 5．(辽阳四模改)问题：如图①，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系． (1)【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论； (2)【类比引申】如图②，在四边形ABCD中， ∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°， 点E，F分别在边BC，CD上，则当∠EAF与 ∠BAD满足什么数量关系时，仍有EF＝BE＋ FD，并说明理由． 12 解：(1)证明：由旋转变换的性质可知，△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝90°.∵∠ADF＝90°，∴∠ADG＋∠ADF＝180°，即G，D，F三点共线．∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠DAG＝∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠GAF＝∠FAE.∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴GF＝EF.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴BE＋DF＝EF (2)∠BAD＝2∠EAF.理由如下：如图②，延长CB至点M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM.又∵AB＝AD，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF.∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠EAM.∴△EAF≌△EAM(SAS)，∴EF＝EM.∵EM＝BE＋BM＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF 13 【模型归纳】 (1)四边形ABCD为正方形，∠EAF＝45°，如图，“补”△ABG使△ADF≌△ABG，结论：①△AEF≌△AEG；②EF＝BE＋DF. 14 (2)四边形ABCD为正方形，∠EAF＝45°，如图①，“割”△ADG使△ADG≌△ABE，结论：①△AEF≌△AGF；②EF＝DF－BE. (3)四边形ABCD为正方形，∠EAF＝45°，如图②，“补”△ABG使△ABG≌△ADF，结论：①△AEF≌△AEG；②EF＝DF－BE. 15 模型二　正方形中过对角线交点的直角问题 3．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且O是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E