4.5.1函数的零点与方程的解课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 4.5 函数的应用（二） 【新知引入】 中国历史上的方程求解 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法. 【新知引入】 中国历史上的方程求解 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法. 【新知引入】 ——你能求出下列方程的根吗？ 【新知引入】 ——下列方程与函数有什么关系呢？ [新知引入2] 方程 函数 函数的图象 方程的实数根 x1=－1, x2=3 (-1,0)、(3,0) 函数的图象 与x轴交点 x=1 (1,0) x y 0 -1 3 2 1 1 2 -1 -2 -3 -4 . . . . . g(x)= x2－2x－3 x2－2x－3=0 f(x)= x－1 x－1=0 x y 0 -1 3 2 1 1 2 -1 -2 -3 -4 . . 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)= 0的实数根 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 函数y=f(x)的零点 一.函数零点的定义： 等价关系 ★温馨提示：零点是一个数，不是点。 例1 求函数f(x)=(x-1)(x2-4)的零点（ ） A.(1，0)，(2，0)，(-2，0) B.1，2 C.(0，1)，(0，2)，(0，-2) D.1，2，-2 D 例2：函数y=f(x)的图象如下，则其零点为__________. -2，1，3 【趁热打铁】 （2）什么条件下的函数一定有零点？ 思考? （1）函数都有零点吗？ 探究3 现在有两组镜头（如图），哪 一组能说明她的行程一定曾渡河?    换维思考:现在有两组镜头（如图），哪一组能说明她的路线一定渡河?（请动手用连续不断的曲线画一画小美的可能路线）    A B A B 数学抽象：将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。若所画曲线能表示为函数，设A、B两点的横坐标分别为a、b，这些函数图像与x轴有什么关系？ a b x a b x a b x a b x a b x a b x 观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象 （1）f(-2)∙f(1)___0(<或>),函数f(x)在区间[-2,1]内____（有/无）零点 < 有 < 有 【合作探究】 （2）f(2)∙f(4)___0(<或>),函数f(x)在区间[2,4]内____（有/无）零点 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 如何保证f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点？ 【归纳总结】 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 二.零点存在定理： （1）已知函数y=f (x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b) <0， 则f(x)在区间(a，b)内存在零点.（ ） 如图，虽然函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a，b)内不存在零点. 【趁热打铁】 判断对错并画图举反例 a b O x y （2）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0， 则f(x)在区间(a，b)内没有零点.（ ） 如图可知，函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f (a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a，b)内有零点.故论断不正确. a b O x y （3）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)< 0， 则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点.（ ） 如图，函数y=f(x)在区间[a，b]上有3个零点，“在区间(a，b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的. a b O x y （4）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(x)在区间(a，b)内存在零点，则f(a)·f(b) <0.（ ） 若函数y=f (x)在区间[a，b]上连续； f(a)·f(b) <0 f(x)在区间(a，b)内存在零点 1.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有