8.1.1向量数量积的概念（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

8.1.1向量数量积的概念  ┓ 我们学过功的概念，即一个物体在力 的作用下产生位移 .（如图） 力 所做的功W=,其中力是矢量，位移是矢量，功W是标量. 给定任意两个向量能否确定出一个类似的标量？ 1.理解平面向量数量积、 投影的定义 .（重点） 2.掌握平面向量数量积的性质 ,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.（重点、难点） 探究点1：两个向量的夹角 定义：给定两个非零向量 ,在平面内任选一点，做OA= ,OB= , 则称[0，π]内的∠AOB为向量与向量的夹角，记作 <，> . B O A 注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同始点的. 与 反向 O A B 与 同向 O A B 记作 与 垂直， O A B 几种特殊情况（记与的夹角为） 零向量的方向不确定，规定零向量与任意向量垂直. 1.的取值范围是什么？ 2.是否成立？ 思考：与为两个非零向量，那么 解析: 探究点2：向量数量积的定义 定义：一般的，当向量 与向量 为非零向量时，称 为向量 与向量 的数量积（也称为内积）， ，即 记作: 注意： 两个非零向量的数量积是一个实数. 2.两个向量 与 的数量积只能写成 ，中间的“∙”不能省略，也不能写成“×”. 3.规定零向量与任意向量的数量积为0.即 思考：如果与都是非零向量，那么可以是正数、负数和零么？ 从定义可知，数量积的符号是由 决定的，即由 决定. B O A a b O A B a b O A B a b 时， cosθ=0. 时， cosθ＜0. 时， cosθ＞0. 【提升总结】两个向量的数量积的性质： 设 ,为两个非零向量，是单位向量. 1.  = ae =|a|cos< , >; 2.   = 0; 3.  = | |2，即 4. cos< , > = 5.|  | ≤ ||·| | . 用于计算向量的模 用于计算向量的夹角, 以及判断三角形的形状 数量积为零是判定两个向量垂直的条件 ||= 例1.（1）已知||=5，||=4，<,>=120°，求∙; （2）已知||=3，||=2，∙=3，求<,>. (1) 由已知可得 =||||cos<,> =5×4×cos120°=-10； (2) 由 ∙ =| |||cos< ,>可知， 3=3×2×cos<,>， 因此cos<,>=1/2，从而可知< ,>=60°. 解析: 1.根据以下条件，分别求 ∙ . （1）||=8，||=4，<,>=60°；（2）||=4，||=1，<,>=0. 跟踪训练： 2.根据以下条件，分别求<,>. （1） ∙ =5，||||=10；（2） ∙ =6 ，||=2，||=6. （1）16； （2）4. （1）60°； （2）30°. 探究点3：向量的投影 如图所示，设非零向量AB=，过A、B分别作直线的垂线，垂足分别为A',B', → l A a B A B 则称向量为向量在直线l上的投影向量或投影. l A a B A B 设向量所在的直线为l，则向量 在直线上的投影称为向量 在向量上的投影. 如图，向量 在向量上的投影为向量A'B‘. 思考1：如果与都是非零向量，向量 在向量上的投影为向量 ， 那么向量的方向与<,>有什么关联？ B A' A' B 时， 的方向与的方向相反 时， 的方向与的方向相同 解析：设< > B' B' A' B 时， 为零向量 (B') 思考2：如果与都是非零向量，向量 在向量上的投影为向量 ， 那么向量的长度与<,>有什么关联？ B A' A' B 时， 时， ||cos<,> 解析：设<,> B' B' A' B 时， (B') 一般的，如果与 都是非零向量，则称||cos<,>为向量 在向量 上的 投影的数量（投影数量与投影长度有关，但有正负之分）. 即时训练： 120 ° 90° （ 上的数量为 在 时， ）当 b a 3 = q 上的数量为 在 时， ）当 （ b a 2 = q （ 上的数量为 在 时， ）当 b a 30 ° 1 = q 夹角为 与 若 b a b a , 8 | | , 4 | | = = q， ; ; ; 探究点4：向量的投影与向量数量积的几何意义 几何意义： 与 的数量积等于向量 在向量上的投影数量与向量 的模的乘积. A' B' 注意： 当 为单位向量时，