专题突破：三角形“四心”的向量式（4大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

专题突破：三角形“四心”的向量式 一、三角形的“重心” 1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成 三角形中线向量式： 2、重心的性质： （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 3、常见重心向量式：设是的重心，为平面内任意一点 ① ② ③若或，，则一定经过三角形的重心 ④若或，，则一定经过三角形的重心 二、三角形的“垂心” 1、垂心的定义：高的交点。 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 2、常见垂心向量式：是的垂心，则有以下结论： 1、 2、 3、动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 4、奔驰定理推论：，. 三、三角形的“内心” 1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 2、常见内心向量式：是的内心， （1）（或） 其中，，分别是的三边、、的长， （2），，则一定经过三角形的内心。 四、三角形的“外心” 1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等 2、常用外心向量式：是的外心， 1、 2、 3、动点满足，， 则动点的轨迹一定通过的外心. 4、若，则是的外心. 题型一 三角形“重心”的向量式 【例1】（22-23高一下·上海·期末）若是内一点，，则是的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式1-1】（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【变式1-2】（22-23高一下·山东潍坊·月考）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（ ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．边的中点 【变式1-4】（22-23高一下·江苏南通·月考）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 【变式1-5】（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 题型二 三角形“垂心”的向量式 【例2】（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，若，则点H是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式2-1】（22-23高一下·河南济源·月考）已知的外接圆的的圆心是M，若，则P是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式2-2】（22-23高一下·全国·课时练习）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的（ ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 题型三 三角形“内心”的向量式 【例3】（2023高一·全国·专题练习）已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式3-1】（22-23高一·全国·课时练习）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是平面△ABC上一点，且满足，则G是△ABC中的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式3-2】（2023·安徽淮南·一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）. A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式3-3】（22-23高二上·陕西咸阳·月考）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ） A．外心