2024年高中数学大题精选练习（一）

2024年高中数学大题精选练习（一） 1．已知的内角的对边分别为，且． （1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求的值； ①，；②，． （2）若，，求的面积． 2．已知等差数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，数列的前项和为，求的取值范围． 3．如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，底面为棱上的一点． （1）证明：； （2）若二面角的余弦值为，求的值． 4．定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由． 5．已知，函数． （1）证明存在唯一极大值点； （2）若存在，使得对任意成立，求的取值范围． 6．已知公差不为零的等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列． （1）求数列{an}通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn． 7．在△ABC中，c＝1，，且△ABC的面积为． （1）求a的值； （2）若D为BC上一点，且 ▲ ，求sin∠ADB的值． 从①AD＝1，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E是CD的中点．将△ADE沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且使平面PAE⊥平面ABCE． （1）求证：平面PBE⊥平面PAE； （2）求平面PAE与平面BCP所成锐二面角的余弦值． 9．心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30名女20名），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如表：（单位：人） 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）． 附表及公式 P（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ． 10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，e）在椭圆C上，其中e是椭圆C的离心率． （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点M在第一象限，点A、B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，求四边形AMBN面积S的最大值． 11．已知数列的前项和满足． （1）证明：数列是等差数列； （2）设，若成等比数列，求数列的前项和． 12．如图，在直三棱柱中，． （1）证明：； （2）若点在棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 13．有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号．一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响． （1）求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率； （2）若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第个格子的概率为，求和的值． 14．已知函数． （1）若在处的切线与的图象切于点，求的坐标； （2）若函数的极小值小于零，求实数的取值范围． 15．已知抛物线，点为抛物线上一点，过点作轴，垂足为，线段的中点为（当与重合时，认为也与重合），设动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）设为曲线上不同的三点，且的重心为，求面积的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：选择条件①，， 由余弦定理，得 即，所以或，，， 由正弦定理 ，得 选择条件②，， 由余弦定理得，， 由正弦定理，得 （2）解：由余弦定理得， 所以 得，所以 2．【答案】（1）解：设等差数列的公差为， ， ， ， 又， ， ， 是等差数列， ； （2）解：， （1）， （2）， 由（1）-（2）得， 化简得， 若为偶数时，， 若为奇数时， 因此. 3．【答案】（1）证明：过点作，垂足为， 在等腰梯形中，因为，所以． 在中，，则，则． 因为底面，底面，所以． 因为，所以平面． 又平面，以． （2）解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令， ，则， 则． 设平面的法向量为，则令， 得． 由