2024年高中数学大题精选练习（三）

2024年高中数学大题精选练习（三） 1．在中，角的对边为，设的面积为. （1）求角的大小； （2）若，过的重心点的直线与边的交点分别为，，请计算的值. 2．已知数列的前项的和为，数列为单调递增的等比数列，且有. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，设的前项的和为，求的值. 3．如图，在三棱锥中，，设点为上的动点. （1）求面积的最小值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 4．已知点为直线上的动点，过点作射线（点位于直线的右侧）使得，设线段的中点为，设直线与轴的交点为. （1）求动点的轨迹的方程. （2）设过点的两条射线分别与曲线交于点，设直线的斜率分别为，若，请判断直线的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点. 5．已知函数，其中. （1）当时，求函数的零点； （2）若函数恒成立，求的取值范围. 6．已知各项为正的数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的前项和． 7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小． 8．（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据 ， 6 8 9 10 12 2 3 4 5 6 请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程． （2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为，，，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围． 参考公式： ①线性相关系数，一般地，相关系数的绝对值在以上（含）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱． ②对于一组数据，，…，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 9．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点．点，直线交直线于点．设直线的斜率分别，求证：为定值． 10．已知函数． （1）若存在极值，求的取值范围； （2）若，已知方程有两个不同的实根，，，证明：．（其中是自然对数的底数） 11．如图，已知的面积为1，点D，E，F分别为线段，，的中点，记的面积为；点G，H，I分别为线段，，的中点，记的面积为；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为． （1）求，，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 12．第22届国际足联世界杯于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内举行，并引起了一股风靡全球的足球热．为合理开展足球课程，某中学随机抽取了60名男生和40名女生进行调查，结果如下：回答“不喜欢”的人数占总人数的，在回答“喜欢”的人中，女生人数是男生人数的． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并据此判断是否有99.9％的把握认为学生对足球的喜爱情况与性别有关？ 性别 对足球的喜爱情况 合计 喜欢 不喜欢 女生 　 　 　 男生 　 　 　 合计 　 　 　 （2）将上述调查的男、女生各自喜欢足球的比例视为概率．现对该校中的某班学生进行调查，发现该班学生喜欢足球的人数占班级总人数的，试估计该班女生所占的比例． 13．如图，在正四棱台中，，点P为棱上一点． （1）记棱锥，棱台的体积分别为，，当时，求； （2）若正四棱台的侧棱与底面所成角为，当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值． 14．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点． （1）记直线，的斜率分别为，，求； （2）记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程． 15．已知函数，． （1）求证：； （2）若函数有三个不同的零点，，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求证：． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：在中，根据正弦定理 结合条件，可得：. 因为，所以，可得，即有， 又，故. 又因为，可得，即可得. 根据，由此即可得. （2）解：解法一：以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系.则可得点