2024年高中数学大题精选练习（二）

2024年高中数学大题精选练习（二） 1．记为数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，试求除以3的余数. 2．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求点A到平面的距离. 3．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望； （2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率． 4．已知抛物线，圆是上异于原点的一点. （1）设是上的一点，求的最小值； （2）过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标. 5．已知函数. （1）证明：当时，； （2）设为正实数且. （i）若，证明：； （ii）若，证明：. 6．在中，已知角，，的对边分别为，，，且 （1）求角的大小 （2）若为锐角三角形，且，，求的面积． 7．已知数列 的前n项和为 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，若 表示不超过x的最大整数，如 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前2020项的和. 8．已知在多面体中，，，，，，且平面平面. （1）设点为线段的中点，试证明平面； （2）与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 9．已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明不等式恒成立. 10．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，. （1）求双曲线的方程； （2）若的外心为，求的取值范围. 11．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角； （2）若，求的最小值. 12．已知为等比数列的前项和，，且，. （1）若为等差数列，求数列的通项公式； （2）若为等比数列，，求. 13．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，D，E分别为，的中点. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 14．已知点，，动点满足，动点的轨迹记为. （1）求的方程. （2）若不垂直于轴的直线过点，与交于C，D两点（点C在x轴的上方），，分别为在轴上的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 15．已知函数. （1）当时，证明：. （2）试问是否为的极值点？说明你的理由. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由有，即， 又，故， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 故，两式相减得，即， 所以， 因此的通项公式为. （2）解：由（1）及，有，所以， 又， 因为均为正整数，所以存在正整数使得， 故， 所以除以3的余数为2. 2．【答案】（1）证明： 连接交于点，连接， 则有为的中点，M为的中点， 所以， 且平面，平面， 所以平面. （2）解：连接，因为，所以， 又因为平面，平面， 所以，，所以平面， 又因为平面，所以， 又，所以是等腰直角三角形， ， 所以， ， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以. 3．【答案】（1）解：记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立， 由题意得：，， 甲的得分X的可能取值为， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 p . （2）解：经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分， 甲3轮各得1分的概率为， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为， 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为， 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为， 所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率. 4．【答案】（1）解：设，圆心，半径为， ， 所以当时，有最小值， 所以的最小值； （2）解：由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为， 所以切线的方程为：， 由圆的切线性质可知： ， 设， ，是方程的两个不相等实根， 因此，即，且， 所以由圆的切线性质知：， ， 所以的坐标为或. 5．【答案】（1）证明：令且，则， 所以在上递减，故，即， 所以时. （2）证明：（i）设，证明：， 不妨设，且，则， . 设，则，. 设，则. 于是，在内单调递增，当趋向于时，趋向于，故. 由得：，则在内单调递减，当趋向于时，趋向于e，故. 因此，. （ii）证明：，其中， 由对称性知：不妨设，令，此时， 令且，则