向量法求空间角专项训练——2024届高三数学二轮专题复习

向量法求空间角 题型一 异面直线成角 1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,E是BC的中点,AC=AB=AA1=2,求异面直线AE与A1C所成的角的大小. 2.　如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC,AD所成的角的余弦值为(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.- C. D. 3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=1,AB=AC=,PA,AB,AC两两互相垂直,M为PC的中点,N为BC的中点,则异面直线PB与AM所成角的余弦值是　　　　;  4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是棱BC,CC1的中点,则异面直线AN与BC所成角的余弦值为　　　　;若动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动,且PA1∥平面AMN,则线段PA1的长度范围是　　　　.  题型二 求线面成角 5．如图，在三棱台中，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．如图，是边长为2的等边三角形，且.    (1)若点到平面的距离为1，求； (2)若且，求直线与平面所成角的正弦值. 7．在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．    (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 8．如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上. (1)求二面角的正切值； (2)点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型三 求面面成角 9．如图，在直三棱柱中，分别为的中点 (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 10．如图，四棱锥中，底面为矩形.底面，，分别为，的中点，与平面成角. (1)证明：为异面直线与的公垂线； (2)若，求二面角的余弦值. 11．如图所示，在长方体中，，在棱上，且． (1)若，求平面截长方体所得截面的面积 (2)若点满足，求平面与所成夹角的余弦值． 12．如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.    (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1.如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),A1(0,0,2), =(1,1,0),=(0,2,-2),设异面直线AE与A1C所成的角为θ, 则cos θ===, ∴θ=60°,即异面直线AE与A1C所成的角为60°. 2.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.如图,以A为坐标原点,以AB,AE,AP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以D(2,0,1),所以=(-4,2,2),=(2,0,1),所以cos<,>===-.设异面直线PC,AD所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|=.故选D. 3.如图①,连接中位线MN,则MN∥PB, 即异面直线PB与AM所成的角为∠AMN, ∵PA=1,AB=AC=,PA,AB,AC两两垂直, ∴PC=PB=,则AM=MN=,且AN=1, ∴在△AMN中,cos∠AMN==. 4.∵BC∥AD,∴异面直线AN与BC所成的角就是直线AN与AD所成的角,即∠DAN为异面直线AN与BC所成的角.连接DN,∵AD⊥平面CDD1C1,DN⊂平面CDD1C1,∴AD⊥DN,∴易得AC=2,AN==3,∴cos∠DAN==.取B1C1的中点为E,BB1的中点为F,连接A1E,A1F,EF,取EF的中点为O,连接A1O, ∵M,N分别是棱BC,CC1的中点, ∴AM∥A1E,MN∥EF,又A1E⊄平面AMN,AM⊂平面AMN, ∴A1E∥平面AMN,同理,EF∥平面AMN. ∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面A1EF, ∴平面AMN∥平面A1EF, ∵动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动,且PA1∥平面AMN,∴点P的轨迹是线段EF, ∵A1E=A1F==,EF==,∴A1O⊥EF, ∴当点P与点O重合时,PA1的长度取最小值,最小值为A1O==, 当P与E(或F)重合时,PA1的长度取最大值,最大值为A1E=A1F=.∴PA1的长度范围为.