2024年 九年级数学中考复习 相似三角形综合压轴题 专题提升训练

2024年九年级数学中考复习 相似三角形综合压轴题 专题提升训练 1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 2．综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．    (1)探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (3)延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 3．如图，为线段的中点，与交于点，，且交于，交于．    (1)写出图中两对相似三角形； (2)连接，如果，，，求的长． 4．如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． (1)当时，求的面积； (2)当为多少时，的面积是？ (3)当为多少时，与是相似三角形？ 5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答． 如图，已知在矩形中，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． (1)观察发现：写出图1中一个与相似的三角形：______．（写出一个即可） (2)迁移探究：如图2，若，，当与的交点H恰好是的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F落在边上时，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，请直接写出的值． 6．【阅读】如图1，若，且点B、D、C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形． (1)【理解】如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形． (2)【应用】如图3，与是旋转相似三角形，，求证：①；②； (3)【拓展】如图4，是四边形的对角线，，，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由． 7．综合与实践 如图1，已知纸片中，，为斜边上的高（于点）． 观察发现 （1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）    实践操作 第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿折叠（点为上一点），使点落在边上的点处； 第二步：与交于点连接，然后将纸片展平． 猜想探究 （2）猜想四边形是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 8．如图1，已知是的角平分线，可证．证明思路是如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．    (1)利用图2证明； (2)如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长． 9．【教材原题】如图①，在中，，且，，图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ； 【改编】将图①中的绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接、．求证：； 【应用】如图③，在和中，，，点D在边上，连接，则与的面积比为__________． 10．问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． (1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明； (2)基础训练：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； (3)拓展升华：如图4，中， ，，为的角平分线，的中垂线交延长线于F，当时，求的长． 11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在与中，．所以称与为“阳似三角形”，连接，则为“阳似比”． (1)如图1，已知与为“阳似三角形”，其中，当时，“阳似比”______； (2)如图2，二次函数交x轴于点A和B两点，交y轴于点C．点M为直线在第一象限上的一个动点，且与为“阳似三角形”，连接， ①当点N落在二次函数图象上时，求出线段的长度； ②若，求的最小值． 12．已知在中，，于点D． (1)在图1中，写出其中的两对相