(奥数典型题)数论（知识精讲+典题精练）-2023-2024学年六年级下册小升初数学思维拓展提升讲义（通用版）

( 板块一：知识精讲 )数论 1．数字问题 【知识点归纳】 1．数字问题的主要题型： 数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少． 2．核心知识 （1）数字的拆分 是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等． （2）数字的排列与位数关系 解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解． 2．奇偶性问题 【知识点归纳】 主要用到的知识点： 1．奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数； 奇数±偶数＝奇数；偶数±奇数＝奇数． 2．奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数． 3．奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数． 4．若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数． 5．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1． 3．质数与合数问题 【知识点归纳】 1、巧记100以内的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31 和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73， 79，83；89和97． 2、“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数． 3、“1”这个数既不是质数也不是合数． 【解题方法点拨】 1、根据定义如果能够找到一个小于Q的质数p（均为整数），使得p能够整除Q，那么Q就不是质数，所以我们只要拿所有小于Q的质数去除Q就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的Q，我们可以先找一个大于且接近Q的平方数K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除Q，如没有能够除尽的，那么Q就是为质数 2、找n个连续合数的方法：（n+1）!+2，（n+2）!+3，（n+1）!+4，…，（n+1）!+（n+1）这n个数分别能被2、3、4、…、（n+1）整除，它们是连续的n个合数，其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n． 4．因数与倍数 【知识点归纳】 1．公约数与公倍数题型简介 （1）公约数与公倍数 若数a能被b整除，则称数a为数b的公倍数，数b为数a的公约数．其中，一个数的最小公约数是1，最大公约数是它本身． （2）公约数与最大公约数 几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数． 公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数． （3）公倍数与最大公倍数 几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数． 公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数． 考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数． 【解题方法点拨】 （1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数． （2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积． （3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止． （4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似． 5．整数的裂项与拆分 整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等． 6．带余除法 【知识点归纳】 如：16÷3＝5…1，即16＝5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法． 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a＝q×b+r． 当r＝0时，我们称a能被b整除 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）． 【解题方法点拨】 对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a＝bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法． 7．同余定理 【知识点归纳】 所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a＝6，b＝1，d＝5，则