2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型三综合与实践(几何探究题)（一）

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型三 综合与实践 (几何探究题)（一）（解析版） 1、 题型解读（必考） 综合与实践题是山西省中考的必考题型，这类题属于过程探究题，主要通过图形的变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力，一般先给出一个有意义的数学素材（即几何背景），让学生通过收集、分析和处理信息来感受和体验知识的发生过程及数学思想方法的应用过程，然后对背景问题的条件进行引申、推广、类比后拓展成新的命题，让学生亲身经历“观察、实验、比较、猜想、归纳、推理、反思与迁移”等理性思维活动的全过程，进而发展学生综合运用知识与方法去解决问题的能力。解决这类问题关键是在较复杂的几何问题中，寻找一般的数学性质，基本图形及相应的解决问题的方法，即以图形为抓手，分析背景图形是什么，有那些基本图形组成，图形是如何演变的，图形之间有怎样的关系，同时要联系上下文，寻找蛛丝马迹，后面的猜想通常与前一问的解答有一定的关联，所以这类题目要分类讨论。 类型一、 与图形的平移有关的探究题 解题策略 平移变换问题：平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．在图形的变化过 程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化。 1.平移的条件： 确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。 2.平移的性质 经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等； 平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。 （1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。 （2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。 （3）多次连续平移相当于一次平移。 （4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。 （5）平移是由方向和距离决定的。 （6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等。 真题回顾 1.（2022山西适应性试题）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　） A．2 B．3 C． D． 思路引领：由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知，据此求解可得． 【详解】解：如图， ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线， ∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=， ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'， ∴A′EAB， ∴△DA′E∽△DAB， 则， 即， 解得A′D=2或A′D=-（舍）， 故选A． 总结提升：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 2、（2012山西中考真题）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由． 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下： 连接CO，则CO是AB边上中线， ∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2） 反思交流： （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：_____________ 依据2：_______________________ （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸： （3） 将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程． 【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。 （2）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。 ∵O是AB的中点，∴OA=OB。 ∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。 ∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO， ∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。 （3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下： 连接CO，则CO是AB边上的中线。 ∵∠ACB=90°，∴OC=AB=OB。 又∵CA=CB，