2024年中考数学二轮复习 手拉手模型——旋转型全等 讲义

2024年中考数学二轮复习 手拉手模型——旋转型全等 例1．如图1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2，点A在x轴上，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）①求点B的坐标； （2）如图2．将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长； （3）如图1，连接BE，在线段BE上有一动点M，连接CM，OM，直接写出CM+OM+BM的最小值为 　 　； （4）若去掉题卡中OB＝2这个条件，点F为△OBC外一点，连接OF，BF，CF，若OF＝6，BF＝2，则当线段CF的长度最小时，∠OFB＝　 　，CF的最小值是 　 　． 解：（1）在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝2， ∴ABOB＝1，OA， ∴点B的坐标为（，1）； （2）如图，设OG＝y， ∵△OBC是等边三角形， ∴OC＝OB＝BC＝2， ∴CG＝OC﹣OG＝2﹣y， 由折叠得AG＝CG＝2﹣y， 在Rt△AOG中，OG2+OA2＝AG2， 即y2+（）2＝（2﹣y）2， 解得：y， ∴OG的长为； （3）如图，将△BCM绕点B顺时针旋转60°得到△BC′M′，连接MM′， 则BM′＝BM，BC′＝BC，C′M′＝CM，∠C′BC＝∠M′BM＝60°， ∴△BMM′是等边三角形， ∴MM′＝BM， ∴CM+OM+BM＝C′M′+OM+MM′， 当O、M、M′、C′在同一条直线上时，CM+OM+BM＝C′M′+OM+MM′＝OC′为最小值， ∵D是OB的中点，∠OAB＝90°， ∴AD＝OD＝BD＝AB＝1， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ODE＝∠ADB＝60°， ∵∠DOE＝90°﹣30°＝60°， ∴△ODE是等边三角形， ∴OE＝OD＝1， ∴点E是OC的中点， ∴∠CBE＝∠OBE＝30°， ∴∠ABO+∠OBC+∠CBC′＝60°+60°+60°＝180°， ∴A、B、C′三点在同一条直线上， ∴AC′＝AB+BC′＝1+2＝3， ∴OC′2， 故答案为：2； （4）如图，以BF为边在△OBF内部作等边三角形BFG，连接OG， 则BG＝FG＝BF＝2，∠FBG＝∠BFG＝60°， ∵△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°， ∴∠CBF＝∠OBG， 在△BCF和△BOG中， ， ∴△BCF≌△BOG（SAS）， ∴CF＝OG， 当线段CF的长度最小时，OG最小， ∵OG≥OF﹣FG＝6﹣2＝4， ∴OG的最小值为4，此时点G落在线段OF上，∠OFB＝∠BFG＝60°， ∴CF的最小值为4； 故答案为：60°，4． 例2．已知：点D是△ABC边BC所在直线上的一个动点（点D与点B，C不重合），∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，连接DA，点D绕点A顺时针转90°得到点E，连接BE，AE，DE． （1）如图1，当点D在线段CB的延长线上时，请你判断线段BE与线段CD之间的关系，并证明你判断的结论． （2）如图2，当点D在线段BC上，且BD＝2CD时，直接写出四边形AEBC的面积． （3）点D绕点A逆时针转90°得到点F，连接CF，AF，DF，当∠EAB＝15°时，直接写出线段CF的长． 解：（1）BE＝CD，BE⊥CD. 证明：如图1，∵点D绕点A顺时针转90°得到点E， ∴AE＝AD，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠DAB＝∠DAB+∠BAC， 即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACB， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°， ∴BE⊥CD． （2）如图2，过点A作AH⊥BC于点H， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴BC2， ∵AH⊥BC， ∴BH＝CH＝AH， ∵BD＝2CD， ∴CDBC， ∴S△ACDCD•AH， 由旋转得：AE＝AD，∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠BAC， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴S△ABE＝S△ACD， ∵S△ABCAB•AC2×2＝2， ∴S四边形AEBC＝S△ABE+S△ABC2； （3）①当点D在线段CB上时，如图3，过点A作AG⊥BC于点G， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AG⊥BC， ∴AG＝BG＝CG，∠CAG＝∠BAG＝45°， ∵∠EAB＝15°，∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠DAG＝90°﹣15°﹣45°＝30°， ∴DG＝AG•tan∠DAG•tan30°， ∴BD＝BG+DG，