2024年中考数学二轮复习《开放探究综合压轴题》专题提升训练

2024年春九年级数学中考复习《开放探究综合压轴题》专题提升训练(附答案) 1.在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点,分别在等边的,边上,且,,交于点.求证:. 同学们利用有关知识完成了解答后,老师又提出了下列问题,请你给出答案并说明理由. (1)若将题中“”与“”的位置交换,得到的是否仍是真命题? (2)若将题中的点,分别移动到,的延长线上,是否仍能得到? 2.如图,已知点P是∠AOB内一点,过点P的直线MN分别交射线OA,OB于点M,N,将直线MN绕点P旋转, MON的形状与面积都随之变化. (1)请在图1中用尺规作出 MON,使得 MON是以OM为斜边的直角三角形; (2)如图2,在OP的延长线上截取PC=OP,过点C作CM∥OB交射线OA于点M,连接MP并延长交OB于点N.求证:OP平分 MON的面积; (3)小亮发现:在直线MN旋转过程中,(2)中所作的 MON的面积最小.请利用图2帮助小亮说明理由. 3.如图所示,D,E,F,G,H,I是三边上的点,连结EI,,,. (1)判断与是否相等,并说明理由. (2)若,求的度数. (3)若EI平分,,,试用含,的代数式表示的度数. 4.“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯,如图1所示,灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转,灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即,且. (1)填空:_ ; (2)填空:若灯A射线与灯B射线第一次在重合,则灯B射线先转动_秒,灯A射线才开始转动. (3)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行? 5.如图l,在正方形ABCD中,AB=8,点E在AC上,且,过点作于点,交于点,连接,. 【问题发现】 (1)线段与的数量关系是_,直线与所夹锐角的度数是_; 【拓展探究】 (2)当绕点顺时针旋转时,上述结论是否成立?若成立,请写出结论并结合图2给出证明;若不成立,请说明理由; 【解决问题】 (3)在(2)的条件下,当点到直线的距离为2时,请直接写出的长. 6.如图1所示,边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点重合,点在对角线上. 【问题发现】如图1所示,与的数量关系为_; 【类比探究】如图2所示,将正方形绕点旋转,旋转角为,请问此时上述结论是否还成立?如成立写出推理过程,如不成立,说明理由; 【拓展延伸】若点为的中点,且在正方形的旋转过程中,有点、、在一条直线上,直接写出此时线段的长度为_ 7.如图,为等腰三角形,,过底边上一点,作,的两边分别交,所在直线于,两点. (1)【观察猜想】 如图1,当为等腰直角三角形,点为的中点时,与的数量关系为_; (2)【类比探究】 如图2,当时,求的值(含的式子表示); (3)【解决问题】 如图3,连接,若,,且,,直接写出的值为_. 8.类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”. (1)概念理解: 如图1,在四边形中,添加一个条件,使得四边形是“邻好四边形”,请写出你添加的一个条件_; (2)概念延伸: 下列说法正确的是_.(填入相应的序号) ①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形; ②一组对边平行,另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形; ③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形; ④一组对边平行,另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形; (3)问题探究: 如图,小红画了一个,其中,,,并将沿的平分线方向平移得到,连结,,要使平移后的四边形是“邻好四边形”应平移多少距离(即线段的长)? 9.能够完全重合的平行四边形纸片和按图①方式摆放,其中,.点,分别在边,上,与相交于点. 【探究】求证:四边形是菱形. 【操作一】固定图①中的平行四边形纸片,将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度,使点与点重合,如图②,则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为_. 【操作二】四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度,使点与点重合,连接,,如图③若,则四边形的面积为_. 10.已知:三角形中,,,为的中点, (1)若点,分别是,的中点,判断的形状并说明理由; (2)如图,,分别是,上的点,且,试说明是直角三角形; (3)若,分别为,延长线上的点,仍有,其他条件不变,(1)(2)中的结论是否成立?直接写出结论. 11.综合与实践 操作发现: 已知点P为正方形ABCD的边AD或CD上的一个动点(点A,D,C除外),作射线BP,作AE⊥BP于点E,CF⊥BP于点F. (1)如图1,当点P在CD上(点C,D除外)运动时,直接写出线段AE,CF,EF间的数量关系